浅谈排列组合中的分组问题

浅谈排列组合中的分组问题数学教研组李世军内容摘要:数学中的排列、组合问题跟实际生活联系紧密,有些问题更像游戏规则,致使学生对这一部分有更高的兴趣,但是题型多样，思路灵活，逻辑思维要求比较高,所以不易掌握。其实，分组问题也是有规律性的，只要认真去分析、总结，也是可以很好的解决此类问题的。一方面，审题要清,搞清楚是哪类分组问题，对症下药；另一方面，由于加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都在进行分类或分步处理,数据计算都是以这两个原理为理论根据。在分组问题中用好这两个原理，思路就会变得很清晰。还有就是有些学生对老师的计算式不理解，为什么要除，为什么要减？此时，老师有必要用最笨的方法写出所有的排列和组合，应该除，还是应该减就是一目了然的了。数学中的排列、组合问题跟实际生活联系紧密，有些问题更像游戏规则,致使学生对这一部分有更高的兴趣，但是题型多样，思路灵活，逻辑思维要求比较高，所以不易掌握。分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点，是一类典型问题。下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。一、审题要清,搞清楚是哪类分组问题例如：8本不同的书，按照以下要求分配，各有多少种不同的分法?⑴一堆1本,一堆2本,一堆5本；⑵甲得1本,乙得2本,丙得5本；⑶甲、乙、丙三人，一人1本,一人2本,一人5本；⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；⑺给三人一人4本,一人2本,一人2本。解析:小题⑴属非平均分组问题,仅仅分组,分组与顺序无关，是组合问题，共有112358CCC种不同的分法；小题⑵属非平均分组定向分配问题,先分组,再分配,但是是定向分配不涉及排序,共有112358CCC种不同的分法；小题⑶属非平均分组不定向分配问题,先分组,再分配,与顺序有关,需排序,共有33112358ACCC种不同的分法；小题⑷属平均分组不定向分配问题,先分组有4422242628ACCCC种分法,再分配,与顺序有关,有44A种排列,共有444422242628)(AACCCC种不同的分配方法；小题⑸属平均分组问题,分组与顺序无关，是组合问题，有4422242628ACCCC种不同分法；小题⑹属部分平均分组问题,分组与顺序无关，有22222448ACCC种不同分法；小题⑺属部分平均分组不定向分配问题,先分组,再分配,与顺序有关,有3322222448)(AACCC种不同分法。二、用好两个原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都在进行分类或分步处理，数据计算都是以这两个原理为理论根据。在分组问题中用好这两个原理，思路就会变得很清晰。例如：3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法种数共有多少？解析：用分步计数的原理,分两大步：第一大步：先把3名医生分配到3所学校共有111213CCC种(分三小步)；第二大步：再把6名护士分配到3所学校共有222426CCC种(分三小步)；根据分步计数原理可得540222426111213CCCCCC（种）。例如：6名旅客安排在3个房间，每个房间至少安排一名旅客，则不同的安排方法种数共有多少？解析:整体分三类：①先把6名旅客分成1，1，4三组，有22111246ACCC种分法，再分配到3个房间有33A种情况，由分步计数原理可得有90)(3322111246AACCC种安排方法；②先把6名旅客分成1，2，3三组，有332516CCC种分法，再分配到3个房间有33A种情况，由分步计数原理可得有360)(33332516ACCC种安排方法；③先把6名旅客分成2，2，2三组，有33222426ACCC种分法，再分配到3个房间有33A种情况，由分步计数原理可得有90)(3333222426AACCC种安排方法；由分类计数原理，知共有不同的安排种数为90+360+90=540（种）。三、通过笨办法让学生理解巧方法许多学生不理解平均分组(包括全平均分组和部分平均分组)为什么要除以平均分组的组数的全排列数，仅仅是通过套题型的方法去解决问题，导致对这部分知识的理解不透彻。在教学时老师可以把一个例子中的所有的排列和组合(包括重复的)都罗列出来，学生一看就明白了，同时也告诉一种理解此类问题的方法。只要通过这种笨办法找出分组中的重复情况，从而清楚的理解一个问题,其它的问题也就迎刃而解了。例如：把A、B、C、D四个小球平均分成两组，有多少种分法？解析：先取两个24C，再取两个22C，如果先取的是AC，剩下BD，或者先取的是BD，剩下AC，而ACBDBDAC这两种分法对于分组是同一种；同理ADBCBCAD这两种分法对于分组是同一种；ABCDCDAB这两种分法对于分组是同一种；所以，共有3222224ACC(种)。