浅谈数学复习课教学中的问题设计

浅谈数学复习课教学中的问题设计浅谈数学复习课教学中的问题设计初中数学总复习是重要的教学阶段,是学生再学习的过程，也是发展学生思维能力,培养学生分析问题、解决问题能力的“收获季节”。在复习过程中，提问是重要的复习手段。那么如何结合教材内容和学生实际设计问题呢？下面结合我近几年的教学实践，以《二次函数》一章的复习为例，谈几点体会。不当之处，敬请各位领导老师批评指正。一、设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识;二、设计开放型问题，培养学生的发散思维和创造才能;三、设计变式型问题，提高学生应变思维能力;四、设计互逆型问题，培养学生逆向思维能力;五、设计应用型问题，提高学生运用数学知识的能力。一、设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识复习课的主体是知识的再现，是学生将已学过的知识不断提取整合的过程。教师要通过合理的方法，设置恰当的问题以唤起学生的回忆。而设计比较型问题是实现这一目标的重要途径。⑴通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链。如在复习二次函数概念时，可以对比一次函数、反比例函数这些相关概念，进行“求同”“求异”比较，抓住它们的共性（即一个变化过程中有两个变量，因变量y是自变量x的函数）和个性（从自变量x的次数和表达形式方面加以比较）就可连成一条知识链，储存在记忆里，既方便又清晰。⑵通过比较，能把握不同知识方法的相同本质。如运用配方法将一般式的二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式y=a(x–h)²+k和用配方法推导一元二次方程的求根公式进行“求异”比较，可以发现前者是代数式的恒等变形，后者是等式变形；但进行“求同”比较可以发现，它们的相同点都是将二次项系数化为1，依据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2进行配方，从而可以把握不同知识方法的相同本质。再如比较二次函数、一次函数、反比例函数的图象，有抛物线、直线、双曲线,它们的形状不同;但“求同”比较可以发现，当图象的发展趋势为左低右高时都为增函数，左高右低时都为减函数。另外，对这三种函数图象所经过的象限与各项系数的符号之间的关系也可进行比较。经过这样的比较后，就能把书由厚读薄，抓住最关键最本质的东西。⑶通过比较，能打破学生接受知识的先后顺序,以求达到知识的融会贯通。如二次函数、一元二次方程、一元二次不等式、判别式这几个知识板块，在复习中进行比较，系统总结，就可以把它们变成一个有机整体。如图，（以a0，∆0为例）当a0，判别式∆0时，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，与x轴相交于两点，在整体上可分成三部分：在x轴上方应为ax²+bx+c0的情形，在x轴下方则为ax²+bx+c0，而与x轴的交点应为ax²+bx+c=0的情形。若设图象与x轴的交点的横坐标为x1,x2(x1x2).显然，ax²+bx+c0的解集为xx1或xx2;ax²+bx+c0的解集为x1xx2；ax²+bx+c=0的解为x1，x2即x1,2=x1x2这样，利用“求同”比较就把一元二次方程、一元二次不等式、判别式都统一于二次函数图象，有利于形成浑然一体的知识体系。同时利用“求异”比较，又可以很清晰地发现一元二次方程、一元二次不等式的解和解集分别是x轴被二次函数图象分割而得的三个不同部分。经过比较后，学生对于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式、判别式都能有更深刻的理解，不仅打破了学习知识的先后时间界限，而且大大同化了前后所学的知识。总之，比较型问题应用在复习课教学中，不仅能沟通知识的纵横联系，使知识系统化，有利于知识的记忆、理解、掌握、应用、深化，而且使学生思维活动的抽象程度和对事物本质规律的理解水平逐步提高，求同求异思维能力得到培养，对优化思维品质大有裨益。二、设计开放型问题，培养学生的发散思维和创造才能开放型问题是指答案不唯一的问题，其特征是多样性和多层次，一般需要学生通过观察、比较、分析、综合甚至猜想展开发散性思维，运用所学的数学知识和方法进行推理得出正确答案。较之有明确条件和结论的封闭性问题更有利于培养学生的发散思维和创造才能。在复习《二次函数》时，我设计了这样的问题：已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（–1，0），B（5，0），C（0，2）（如图所示）⑴从图象上看，能给你提供什么信息？⑵根据这些信息请你提出一个与本题条件相关的结论，并给予解答。⑶请你换掉题目中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数解析式的题目，使所求得的二次函数与⑵的相同。（⑵中可求得二次函数关系式）以上三个问题的设置，给学生提供了广阔的思维空间，使学生善于思考同一问题的不同状态，善于构想各个量在不同情况下所扮演的不同角色。如问题⑴中，从图象可以发现：二次函数y=ax²+bx+c中的a＜0，c值为2，b²–4ac＞0，抛物线与x轴两交点的横坐标分别为–1，5。抛物线在x轴上截得的线段长为6，对称轴为直线x=2，还有增减性、最值,y＞0或y＜0时x的取值范围等等。问题⑵⑶中，通过学生探究，可以使学生熟练掌握二次函数各类形式解析式的求解方法和思路。如对问题（3）的解答，有去掉点A、B、C中的任两个，添上顶点坐标，利用顶点式y=a(x–h)²+k求解的；有去掉点A、B、C中的任一个，再任添一个抛物线上的点，利用一般式y=ax²+bx+c求解的；有去掉C点，再任添一个抛物线上的点，利用两根式y=a(x–x1)(x–x2)求解的；等等。通过这些开放型问题的解决，既复习巩固了二次函数的基本知识（二次函数图象的特征、性质，各类解析式的求法及一些基本的数学思想方法如数形结合、分类、转化等);又培养了学生应用知识分析探究问题的能力。实践证明，设计开放型问题既可以消除学生模仿解题的习惯，又可以克服学生被动学习的弊端。有利于打破学生的思维定势，活跃思维，开阔思维，有利于改变学生的学习方法，培养学生的个性，发挥每个学生的聪明才智和创造才能。三、设计变式型问题，提高学生应变思维能力变式型问题主要包括“一题多解”“多题一解”“一题多变”三种形式。在数学复习中经常引导学生重视变式训练，可以开拓学生的思维，挖掘学生的潜力，有利于培养提高学生的应变思维能力。如在上例中我又设置以下问题：⑷设抛物线顶点为M，连结MC，BC，BM.你能求出∆MBC的面积吗？能寻找几种方法？（学生们的智慧是不可估量的，有时老师想不到的，他们却能想到。学生们提出了六种解法：法一：如图①S∆MBC=S梯形CODM+S∆MDB–S∆BOC.法二：如图②S∆MBC=S梯形EMBO–S∆EMC–S∆COB.法三：如图③S∆MBC=S∆MCO+S∆BOM–S∆BOC.①②③法四：如图④S∆MBC=S∆CMF+S∆MBF.其中MF=MD–FD。求FD利用三角形相似.法五：如图⑤S∆MBC=S∆GCB–S∆GCM.其中CG=OG–OC.用M、B两点坐标求直线MB解析式，可求OG。或利用三角形相似。法六：如图⑥S∆MBC=S∆HMB–S∆HCB.同法五类似。）④⑤⑥以上六种解法涉及到诸多定理和性质，从多种角度、多层次去寻求解题的方法，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，使学生的思维应变能力得到充分的锻炼和培养。（当然教师要引导学生注意解题反思：如求三角形面积需要转化，寻找最优的解法等等。）在复习中还要注意对学生进行“一题多变”“多题一解”的训练。如：当m为何值时，抛物线y=x²–（2m+1）x+m²与x轴①有两个交点？②有一个交点？③无交点？考虑到二次函数、一元二次方程和二次三项式之间的联系，可将原题变为：⑴当m为何值时，方程x²–（2m+1）x+m²=0①有两个不等的实根？②有两个相等的实根？③无实根？⑵当m为何值时，抛物线y=x²+（2m–1）x+m²–1与直线y=4mx–1①有两个交点？②有一个交点？③无交点？⑶当m为何值时，多项式x²–（2m+1）x+m²在实数范围内①可分解为两个不同因式的积？②可分解为两个相同因式的积？③不可分解因式？变形后每题的①②③分别与原题中①②③相对应，其解法是相同的。这样通过“一题多变”“多题一解”的训练，不仅沟通了知识间的联系又训练了学生的发散思维，使学生能够“举一反三”“触类旁通”。总之，复习中注重变式问题的训练，既可以加强知识间的联系，使知识融会贯通；又可以培养学生的应变发散思维能力，从而提高学生的综合分析探究解决问题的能力。四、设计互逆型问题，培养学生逆向思维能力正向思维可以习惯性地在学生头脑中扎根，而逆向思维未经特殊的训练就难以形成。在复习中若有意识地设计一些互逆型问题，从反面去开阔学生的思路，就会使学生养成从正向和逆向不同的方面去认识、理解、应用知识的习惯，从而也就提高了学生分析问题、解决问题的能力。例如，已知抛物线y=x²+bx+c向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线y=x²–4x+5。试求b、c的值。这个问题若正向思考，运算繁琐，而逆向思考，可迎刃而解。互逆型问题还可以在公式、法则、定义的复习教学中设计。通过互逆型问题的训练，可以消除学生思维定势的影响，跳出常规解法的圈子，使学生的正向思维、逆向思维相互促进、协调发展，从而培养学生思维的敏捷性，提高学生分析问题、解决问题的能力。五、设计应用型问题，提高学生运用数学知识的能力数学源于生活、用于生活。复习时，引导学生用数学的眼光观察，从中发现数学问题，再运用所学知识解决各种实际问题，使学生处处体会数学知识在实际生活中的作用和数学知识与实际生活的密切联系，帮助学生理解数学在生活中的应用价值。在复习《二次函数》一章的应用问题时，我这样提出：“同学们，利用三角形相似和三角函数可以测量物高、河宽等实际问题。那么你知道利用二次函数可以解决哪些实际问题吗？”从而引导学生重温教材中有关二次函数的应用问题。并且引导学生总结出两大类型：一类利用二次函数最值解决最优化问题，如最大利润、最大面积等；一类构建抛物线模型，解决现实生活中抛物线型的问题，如抛物线型拱桥、喷水池、大门等。教材和谢老师主编的《初中复习方法与策略》上的题目已很全面也很典型，这里不再举例。在数学复习中，设计问题的方法还有很多，如设计趣味性问题，设计迷惑型问题等等。不管哪一种问题设计，必须具有导向性，问题取源于双基，通过解决问题又强化了双基，问题围绕重点，通过解决问题又突出重点。问题设计还必须具有针对性，对不同的复习内容要设计不同的问题。还要循序渐进，有层次、有剃度。注重问题设计它的效应不仅仅表现为课堂复习效益的提高，更为重要的是对学生在复习中如何探究问题、分析解决问题起着潜移默化的影响，在此良性循环的过程中，来提高复习效率，达到既能让学生掌握基础知识又能培养其创新精神和实践能力的目的。