浅谈数学问题中的特值法

浅谈数学问题中的特值法蓬安县杨家中学陈晓明所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分生效。其关键在于如何寻求特殊值。下面介绍几种常用寻求特殊值法解题的方法：一、在所给的范围内寻求特殊值；例1：如果0＜x＜1,则式子的化简结果是（）A、B、C、D、﹣方法（一）：直接化简解:∵0＜x＜1∴＜∴原式＝===＝＝﹣方法（二）：特值法解：∵0＜x＜1，可取＝∴原式＝××＝，∵﹣＝﹣＝×＝∴选D。例2：若a＜﹣1,则3－的最后结果是（）A、3-aB、3+aC、-3-aD、a-3方法（一）：直接法解：∵解：∵a＜﹣1，＜﹣1，∴a-3＜0∴原式=3-=3-（-）=3+a方法（二）：特值法解：∵a＜﹣1，可以取a=-4，代入计算：原式=-1，又3+a=-1，∴选B。例3、如果，则的值是（）A、0B、-1C、1D、不能确定方法（一）：直接法解：∵abc＝1∴原式＝++=++=＝1故选C方法（二）：特值法解：∵abc=1,可取a=1,b=1,c=1,代入得：原式＝++＝1故选C二、在隐含的范围内寻求特殊值；例：如果x、y、z是不全相等的实数，且，，则以下结论正确的是（）A、a、b、c都不小于0B、a、b、c都不大于0C、a、b、c至少一个小于0D、a、b、c至少一个大于0分析：此题若直接解比较繁杂，可采用特值法，较为简便，由x、y、z是不全相等的实数，可分为两种情况：①x、y、z都不相等；②x、y、z中有两个相等；当x、y、z都不相等时，可取x=1,y=0,z=-1,则a=1，b=1，c=1，可排除B和C；当x、y、z中有两个相等时，可以取x=0,y=z=1,则a=-1,b=1,c=1，可排除A；综合以上情况，所以选D。三、在选择的结论范围内寻求特殊值；例1、如果方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A、q≤0B、q＜C、0≤q＜D、q≥方法（一）：直接法解：∵∴y≥0,则y≥q∴q≥0或q＜0∴∵△=1-4q＞0即q＜当q＜0时，方程无根，∴0≤q＜方法（二）：特值法在A、B范围内取q＝-6，代入方程化简为，此时方程有一负根，可排除A、B。在D的范围内可取q=1，代入得，方程无解，排除D。故选C。例2、如果方程的三根可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（）A、m≥B、＜m≤1C、≤m≤1D、m≤分析:此题直接解比较困难，则可采用特值法。解：在A、C、D范围内取m=,代入方程得：,解得，，，∴∴不符合三角形两边之和大于第三边。故选C。综上，通过对比，可见特值法在解决数学问题时，具有举足轻重的作用，有时比一般方法更方便、更快捷，我们在应用时一定要细心审题，灵活运用此法。