曲线及二次曲面.

第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1oC2又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.yxza二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例.空间曲线——圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。圆柱面222ayxyz0xax=y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺线从点PQ当t从02，bPQ2叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；三、空间曲线在坐标面上的投影定义：设空间曲线C的一般方程为定义以C为准线，母线平行于坐标轴的柱面称为投影柱面。zyxCC1、定义投影柱面与坐标平面的交线C´称为曲线C在坐标平面上的投影（曲线）。2、投影曲线的方程设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzyxC1o例如,在xoy面上的投影曲线方程为002222zyyx1)1()1(1:222222zyxzyxCzxyo1C又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.。平面的投影在的交线及求曲面22222xoyLyxzyxz22222yxzyxz1.1122zyx解yxzo得交线L：例.空间曲线在坐标面上的投影由z=0.211122zyxyxzo解122yxL所求投影曲线为122yx0122zyx...得交线L：例.空间曲线在坐标面上的投影.投影柱面22222yxzyxz由。平面的投影在的交线及求曲面22222xoyLyxzyxz四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面空间曲面及其方程第七章四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为0)1.椭球面),,(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,,(为正数)z2.抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q同号)zyx特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面例.椭圆抛物面zqypx22222xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面例.椭圆抛物面.zqypx222222.抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222(p,q同号)zyx用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0zqypx2222截痕法（马鞍面）例.双曲抛物面截痕法.例.双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面zqypx2222截痕法.例.双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面zqypx22223.双曲面(1)单叶双曲面by1)1上的截痕为平面1zz椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）1yyzxy),,(1222222为正数cbaczbyax1yy平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）by1)2时,截痕为0czax)(bby或by1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z轴;1yyzxyzxy相交直线:双曲线:01222222czbyax直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.注.单叶双曲面是直纹面(2)双叶双曲面),,(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy双曲线上的截痕为平面1xx上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面图形4.椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222tbytaxtz,可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P316)xyz内容小结1.空间曲面三元方程0),,(zyxF•球面2202020)()()(Rzzyyxx•旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕z轴的旋转曲面:0),(22zyxf•柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程),(同号qp•椭球面•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222•双曲面:单叶双曲面2222byax1双叶双曲面2222byax1•椭圆锥面:22222zbyax5x922yx1xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形: