曲线拟合讲稿

曲线拟合插值与拟合的相同点•都需要根据已知数据构造函数。•可使用得到函数计算未知点的函数值。插值与拟合的不同点•插值:过点;(适合精确数据)•拟合:不过点,整体近似;(适合有经验公式或有误差的数据)•对实验数据进行拟合时，函数形式通常已知，仅需要拟合参数值。曲线拟合问题的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…,n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好．这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，f(x)称为拟合函数拟合的标准•（1）用各点误差绝对值的和表示•（2）用各点误差按绝对值的最大值表示•（3）用各点误差的平方和表示miiiyxfR11)(iimiyxfR)(max1212))((imiiyxfR最小二乘拟合•式中R2称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。•按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。拟合与回归的比较•回归是关于离回归平方和最小（即最小二乘法）作为目标函数的模型系数求算方法。•而拟合可能有其他的目标函数如绝对差值之和最小等目标函数。•但绝大多数也是以离回归平方和最小为目标函数，此时两者没有任何差别，只是提法上的不同。线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x),mn,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中a1,a2,…,am为待定系数．第二步:确定a1,a2,…,am的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离i的平方和最小．线性最小二乘法的基本思路记)2(])([])([),,(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ问题归结为，求a1,a2,…,am使J(a1,a2,…,am)最小．J(a1,a2,…,am)分别对a1,a2,…,am求偏导并令其为0，得方程组线性最小二乘法的基本思路RTRa=RTy当RTR可逆时，方程组的解为：a=(RTR)-1RTy其中线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…,rm(x)}的选取1.通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.将数据(xi,yi)i=1,…,n作图，通过直观判断确定f(x)：用MATLAB作拟合•Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱（CurveFittingToolbox）cftool，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。•调用语法–cftool–cftool(xdata,ydata)•界面如下所示“Data”按钮•点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；•利用Xdata和Ydata的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Datasetname”，然后点击“Createdataset”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；“Fitting”按钮•点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；•点击“Newfit”按钮，可修改拟合项目名称“Fitname”，通过“Dataset”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Typeoffit”选择拟合曲线的类型。CustomEquations用户自定义的函数类型•Linearequationsaredefinedasequationsthatarelinearintheparameters.（例如：y=a*(sin(x-pi))+c）Forexample,thepolynomiallibraryequationsarelinear.•Functionsthatdependonlyontheindependentvariableandconstants.Notethatifyouattempttodefineatermthatcontainsacoefficienttobefitted,anerrorisreturned.CustomEquations用户自定义的函数类型•General(nonlinear)equationsaredefinedasequationsthatarenonlinearintheparameters,orareacombinationoflinearandnonlinearintheparameters.Forexample,theexponentiallibraryequationsarenonlinear.•例如：Y=a*exp(-b*x)+cExponential指数函数•Aone-termortwo-termexponentialequation.•有2种类型–a*exp(b*x)–a*exp(b*x)+c*exp(d*x)Fourier傅立叶函数•Sumsofsinesandcosinesfromonesumuptoeightsums.•有8种类型，基础型是–a0+a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)Gaussian高斯函数•SumsofGaussiansuptoeightpeaks.•有8种类型，基础型是–a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)Interpolant插值•有4种类型–Linear–nearestneighbor–cubicspline–shape-preservingPolynomial多项式函数•Polynomialequationsfromlineartoninthdegree.•有9种类型–linearPolynomial–quadraticPolynomial–cubicPolynomial–4-9thdegreePolynomialPower幂函数•有2种类型–a*x^b–a*x^b+cRational有理数函数•Ratiosofpolynomialsuptodegreefiveinbothnumerator（分子）anddenominator（分母）.•分子、分母共有的类型是linearpolynomial、quadraticpolynomial、cubicpolynomial、4-5thdegreepolynomial；•此外，分子还包括constant型SmoothingSpline平滑样条•Apiecewisepolynomialthatvariesfromlineartocubic.Youadjustthelevelofsmoothingwiththesmoothingparameter.Thedefaultparametervaluedependsonthedataandoftenproducesthesmoothestfit.•平滑参数介于0~1，越大越平滑，取0时为一次多项式拟合。SumofSinFunctions正弦曲线•Sumsofsinesfromonefunctionuptoeightfunctions.•有8种类型，基础型是–a1*sin(b1*x+c1)Weibull韦伯曲线•Thetwo-parameterWeibulldistribution•只有一种–a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)•Weibull分布的密度函数，k为形状参数，l为尺度参数Weibull分布的密度曲线Results复选框•Displaysdetailedresultsforthecurrentfitincludingthefittype(model,spline,orinterpolant),thefittedcoefficientsand95%confidenceboundsforparametricfits,andthesegoodnessoffitstatistics:•下面是个例子Results复选框•LinearmodelPoly2:–f(x)=p1*x^2+p2*x+p3•Coefficients(with95%confidencebounds):–p1=1.376(-0.1468,2.898)–p2=-0.4619(-2.126,1.202)–p3=0.5758(0.2052,0.9463)•Goodnessoffit:–SSE:2.308–R-square:0.5809–AdjustedR-square:0.5499–RMSE:0.2924SSE•Thesumofsquaresduetoerror.Thisstatisticmeasuresthedeviationoftheresponsesfromthefittedvaluesoftheresponses.Avaluecloserto0indicatesabetterfit.•偏差平方和，越接近0越好R-square•Thecoefficientofmultipledetermination.Thisstatisticmeasureshowsuccessfulthefitisinexplainingthevariationofthedata.Avaluecloserto1indicatesabetterfit.•复相关系数平方(决定系数)，越接近1越好AdjustedR-square•ThedegreeoffreedomadjustedR-square.Avaluecloserto1indicatesabetterfit.Itisgenerallythebestindicatorofthefitqualitywhenyouaddadditionalcoefficientstoyourmodel.•修正的复相关系数平方，越接近1越好AdjustedR-square•下列公式中的m为拟合函数中待估参数个数，如：对一元一次多项式拟合，f(x)=a+bx，此时m=2，n为数据点个数。该修正类似修正的样本方差使其为总体方差的无偏估计。RMSE•Therootmeansquarederror.Avaluecloserto0indicatesabetterfit.•偏差平方的均值的算术平方根，越接近0越好曲线拟合好坏如何评价•首要指标是目标函数最小（拟合度最大）；•其次是应考虑关键点的吻合，这些关键点包括：初始点（有时是原点）、拐点、峰值点、极值点、中间点、渐近点、终值点等，在这些关键点上，数据观察值点与函数值点应尽可能一致；•再次是拟合的模型应尽可能简单（模型的形式简单，参数数少）。拟合曲线在实验数据点之外偏离？•这主要与模型有关，一个合适的模型除了在实验数据点全距内高度吻合，也应作适当的外推，这类模型往往具有理性性质。•用多项式拟合是最简单的拟合，但高阶多项式的最大问题是外推将百分之百地偏离（甚至于中间插值也将大范围偏离），它不是一种理性的模型，在试验研究的数据分析中应用价值很小。•多项式拟合是lastchoice,notfirstchoice.实践中如何选择模型？•在数据拟合实践中，理性模型毕竟是少数，大多数的情形是根据数据的趋势寻找合适的模型，有时好几个模型对数据都有较好的拟合，但通过对关键点的比较总会找到一种最合适的模型。•在选择不同的模型时，合理性和可解释性是首要考虑的因素。然后，尽量寻找合适的模型，减少荒唐外推结果的发生。施肥问题•某研究所为了研究氮肥（N）的施肥量与土豆产量的影响，做了10次实验，实验数据见表1，其中ha代表公顷，t代表吨，kg代表千克。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。施肥量（kg/ha）03467101135产量（t/ha）15.221.425.732.334施肥量（kg/ha）202259336404471产量（t/ha）39.543.243.540.830.8施肥问题优化策略•施肥问题拟合函数：•利用微分模型最优策略方法求