浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理

摘要伴随漫长的解方程历史探索中，数学家得出一元多次方程解与次数关系的代数学基本定理，一直以来，学者们给出了不同的方法来证明这个定理。代数学基本定理在代数学中占有非常重要的地位，这篇论文将叙述代数学基本定理的内容，并用复变函数理论中的刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理、柯西定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。关键词：代数学基本定理；辐角原理；最大模原理；最小模原理AbstractWithalonghistoryofexplorationinthesolutionofequations,mathematicianscometoadollarmanytimestherelationshipbetweenthenumberofequationsandthefundamentaltheoremofalgebra,hasbeen,havegivendifferentwaystoprovethetheorem.Fundamentaltheoremofalgebrainthealgebraplaysaveryimportantposition,thispaperwilldescribethecontentsofthefundamentaltheoremofalgebraandcomplexfunctiontheorywiththeLiouvilletheorem,Confucianismbreaktheorem,argumentprinciple,maximummodulusprinciple,theminimumModulusprinciple,residuetheorem,Cauchy'sTheoremtoprovethefundamentaltheoremofalgebra,andtheproofaredescribed,comparedandsummarized.Keywords：Fundamentaltheoremofalgebra;Argumentprinciple;maximummodulusprinciple;minimummodulusprinciple目录前言............................................................................11代数学基本定理的第一种陈述方式的证明...........................................11．1利用刘维尔定理证明.......................................................11.1.1刘维尔定理...........................................................11.1.2证明过程............................................................11.2利用最大模定理证明........................................................21.2.1最大模原理...........................................................21.2.2证明过程............................................................21.3利用最小模定理证明........................................................31.3.1最小模原理...........................................................31.3.2证明过程............................................................31.4利用柯西定理证明..........................................................41.4.1柯西定理.............................................................41.4.2证明过程............................................................42代数学基本定理的第二种陈述方式的证明...........................................52.1利用儒歇定理证明..........................................................52.1.1儒歇定理.............................................................52.1.2证明过程............................................................62.2利用辐角原理证明..........................................................62.2.1辐角原理.............................................................62.2.2证明过程............................................................62.3利用留数定理证明..........................................................72.3.1留数定理.............................................................72.3.2证明过程............................................................8参考文献........................................................................9致谢............................................................................91浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理前言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位。代数学基本定理的第一种陈述方式为：“任何一个一元n次多项式0111...)(azazazazpnnnn在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元n次多项式0111...)(azazazazpnnnn在复数域内有n个根，重根按重数计算”，这两种陈述方式实际上是等价的。此定理若用代数的方法证明，有些将是极其复杂的。但是，如果我们将复数域理解为复平面，将)(zpn的根理解为它在复平面上的零点，那么我们就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种，本文提出几种证明方法，其中个别方法在常见的复变函数的教材中已有涉及，如用刘维尔定理和儒歇定理证明代数学基本定理，但仍是有一些方法在复变函数教材中并未涉及。本论文将对利用复变函数中的相关定理证明代数学基本定理作进一步的探讨。1代数学基本定理的第一种陈述方式的证明1.1利用刘维尔定理证明1.1.1刘维尔定理刘维尔定理：有界整函数必为常数。证明：()fz是有界整函数，即(0,)M，使得zC，()fzM0zC,(0,),()fz在0zzz上解析0()fzM令，可见0zC，0()0fz，从而()fz在C上恒等于常数。1.1.2证明过程假设)(zp在z平面上无零点令0111...)(azazazazpnnnn为整函数且当z时，)...()(01nnnnzazaazzp2对)(1)(zpzf而言，是整函数又0)(limzzf)(zf在C上有界由刘维尔定理：)(zf为常数，与)(zp不是常数矛盾一元n次方程在C内至少有一个根。刘维尔定理应用非常广泛。用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来。它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助函数)(1)(zpzf，由)(zf为整函数且在C上有界，得到)(zf为常数，这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一元n次方程在C内至少有一个根。它的证明过程也很简洁，很容易让初学者理解和掌握。1.2利用最大模定理证明1.2.1最大模原理最大模原理：设函数)(zf在区域D内解析，且恒不为常数，则()fz在区域D内任意点都取不到最大值。证明：假定()fz在D内不恒等于一常数，那么1()DfD是一区域设()fz在0zD达到极大值显然，001()wfzD,而且0w必有一充分小的邻域包含在1D内于是在这邻域内可找到一点w满足0ww从而在D内有一点z满足()wfz以及0()()fzfz，这与所设矛盾因此()fz在D内恒等于一常数。1.2.2证明过程假设nnnazazzp...)(11在z平面上没有零点，即0)(zp3则)(1)(zpzg在z平面上解析显然当Rz且R充分大时有nnnzazazzp...1)(1nnnnRRaRaR21)...1(1因此，在Rz上且R充分大时，有nRzpzg2)(1)(由最大模原理，有2max()nzRgzR特别地，在0z处，有2)0(1)0(2Rgpan而这对于充分大的R显然不成立这就说明了“)(zp在z平面上没有零点”的假设是不成立的从而可以得到)(zp在z平面至少有一个零点即一元n次方程在C内至少有一个根。1.3利用最小模定理证明1.3.1最小模原理最小模原理：若区域D内不恒为常数的解析函数)(zf，在D内的点0z有0)(0zf，则)(0zf不可能是)(zf在D内的最小值。1.3.2证明过程设nnnazazzp...)(11假设Cz平面，有0)(zp，并且0)0(nap又因为)(zp在C平面上解析，且不为常数所以由最小模原理知：)(min,0zpRRz只能在Rz上取得（#）另一方面，)(limzpz，从而当R充分大时，在Rz上有)0()(pazpn，则这与（#）式矛盾，所以假设不成立4即)(zp在复平面C上至少存在一个零点亦即一元n次方程在C内至少有一个根。最小模原理与最大模原理在证明代数学基本定理的时候的证明方法是极其相似的：首先都是假设一元n次方程在C内无零点，然后通过)(zf在区域D内某一点能取到最大值或最小值，但是)(zp却不是常数，与定理的内容产生矛盾，从而得出一元n次方程在C内至少有一个根。这两个定理证明的关键之处是找到)(zf在区域D内能达到最大值或最小值的某一点，如果找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了。1.4利用柯西定理证明1.4.1柯西定理柯西定理：设函数)(zf在整个z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任何一条简单闭合曲线，那么0)(dzzfc。1.4.2证明过程设0111...)(azazazazpnnnn，其中1n，0na假设)(zp在z平面上无零点，即对任意z，有0)(zp于是)()('zpzp在z平面解析，由柯西定理0)()('dzzpzpc（其中C是圆周Rz）（1）另一方面，)()('zpzp=01111211......)1(azazazaazanzn