浅谈用设元法解题

浅谈用设元法解题摘要：设元法是数学中的一种创新的解题方法。在数学解题中可以运用数值设元、整体设元、部分设元、比值设元、均值设元、共轭设元等设元法去解题，达到事半功倍，培养学生的创造性意识和创新思维。关键词：设元法解题方法数值整体部分比值均值共轭创造性意识创新思维设元是常用来解题的方法，设元法也是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通过设元可以沟通条件和结论之间的联系，为开辟解题途径架起桥梁。我们通常把所设的未知数称为元，所谓设元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，设原式中的某一个部分为一个新的元，然后把这个元代入原来的式子中，使之简化，再进行计算，这样就会使问题容易解决。设元法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛具体的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的设元方法来解决。许多同学在解题过程中，习惯于按常规方法进行推理、计算，而不能灵活运用设元法。我们可以启发学生根据题目的结构和特征，展开丰富的联想拓宽自己的思维范围，巧妙地运用设元法来解题，这样就可以培养学生创造性意识和创新思维，同时对学生的解题能力也有所提高。一、适当运用数值设元，提高学生的解题能力。我们经常遇到一类问题，很难直接通过推理和演算得到答案，而需要另外找一条捷径，适当设元，代入后计算，方能得解，这样就能提高学生的解题能力。例1计算：（1+)716151)716151()817161511()81716151(解：设x=,716151，则原式=（1+x）(x+xx)811()81=89818922xxx=81这题如果采用常规算法则显然麻烦又容易出错，但是通过数值设元，把数的运算转化成式的运算，这样解题就显得简单、便捷。二、巧妙运用整体设元，培养学生的思维能力。整体思想是一种重要的数学思想。有些数学问题，可以从整体形式、整体结构考虑，适当设元，就可以顺利简便的解题，培养学生的思维能力。例2设x、y为实数，那么yxxxyx222的最小值是多少？解：设yxyxyx222=m将等式整理成关于x为主元的二次方程，得x、y、m均为实数第1页共4页121,00,11144)1(316340)2(4)1(222222有最小值有最小值，即代数式时，故当时，有当即yxyxyxmyxxymmyyymmyyy上一题要直接求出所求式的值很困难，故可采取整体设元，巧妙地运用判别式来解决，思路就显得非常简捷。三、灵活运用部分设元，培养学生的创新能力。有时我们可通过部分设元的方法来解题，训练学生的发散思维，谋求最佳的途径，达到思维的创新，从而培养学生的创新能力。例3求方程3)3(22xx的解。解：设32xy，则愿方程可化为方程组：x=y32①y=x32②①-②可得（x-y）(x+y+1)=001,0yxyx或于是原方程可以化为以下两个方程组：x-y=0x+y+1=0y=x32或y=x32解得：.2,1,2131,21314321xxxx本题通过部分设元，把解方程转化成解方程组，为解题开辟了新的空间，同时也培养了学生的创新能力。四、合理使用比值设元，培养学生的探究能力。比值设元这种方法在解题过程中是经常运用的一种方法，有些方程组中给出了几个未知数的比值关系，这时我们可以通过他们之间的比例系数来重新设一个未知数，本来有几个未知数的方程组，然后通过关系换算，把方程组转化成我们熟悉的一元一次方程来解，从而培养学生的探究能力。例4解方程组：第2页共4页32yx①43zx②23zyx③解：由①得x:y=6:9由②得x:z=6:88:9:6::zyx设x=6k,y=9k,z=8k代入③得6k+9k+8k=231k原方程的解是：x=6,y=9,z=8本题通过比值设元，达到了减元、消元的目的，这样就能很快求出方程组的解来。五、偶尔使用均值设元，提高学生的判断能力。在某些问题中，已知两个未知量的和，这时可将这两个未知量用它们的均值和一个新的变量来表示，从而使计算化繁为简，我们称这种方法为均值设元法，运用这种方法可以提高学生的判断能力。例5已知实数cba、、满足,9,52babcba求cba32的值。解：由,5ba设mbma25,25代入,92babc得92542522mmc，整理，得0)21(22mc，21;0mc，于是可得,3,2ba832cba.本题如采用常规解法，很难奏效，而采用均值设元，把不定方程组转化成不定方程，再利用非负实数的性质，使题目很巧妙地得到解决。均值设元实际上是设元思想的一种具体运用，它利用了两个量的平均值和一个字母，沟通了原来两个量之间的关系，这样就能够简便计算。六、巧用共轭设元，培养学生的自主能力。第3页共4页在有些数学题目中，有带多重根号的计算，并且这些带多重根号的式子中含有共轭关系的，我们可以通过共轭设元来化简，去掉多重根号，就会很快算出结果，从而培养学生的自主能力。例6计算7575的值。解：设75x，75y，752x，752y，47575xy，142)(222yxyxyx，即5353=14.本题通过共轭设元为解题找到了捷径，这比用常规解法显得更加简便。在数学解题中，用设元法解题不仅是解应用题的常用方法，而且还是解代数式和方程（组）中常用的一种方法，它的用法非常广泛，还常常能使一些代数式和方程（组）简单化。在数学解题过程中要善于观察式子的特点，敢于创新，善于运用设元法去解题，这样就会达到事半功倍的效果，既提高了学生的解题能力，又培养了学生的创造性意识和创新思维。参考文献：（1）、十三院校协编组《中学数学教材教法》高等教育出版社出版1981年12月出版(2)、王林全林国泰主编《中学数学思想方法概论》暨南大学出版社2003年3月出版第4页共4页