最优捕鱼策略

最优捕鱼策略模型摘要本文涉及的问题是渔业资源可持续发展，即在我国一定渔场，在一段时间内，如何实现最大收获量的问题；同时保证渔场能实现稳定生产。我们的解题思路就是：以渔场生产过程中的两个相互制约的因素，分别是年捕捞量与再生产能力，从而确定最优发展策略:用微分方程分别描述各龄鱼1群数量虽时间变化的规律，并在此基础上确定总效益即总收获量为目标函数，以渔场的可持续捕获为约束条件，分别对长期生产和固定期生产建立规划模型。针对问题一：通过对4龄鱼在年末的不同状态(全部死亡；仍为4龄鱼)的考虑，从可可持续捕获条件出发，分别建立2个模型。最后求解在计算机上实现。针对问题二：确定一个整体效益函数，综合考虑年捕捞能力和年再生产能力，用计算机数值解法进行搜索逐年确定各年的最优策略，从而得出五年的总最优策略。1.先假设每年捕捞量强度相等，建立一个简单模型；2.再假设每年捕捞强度不相等，建立一个复杂模型；3.最后给出鱼群生产能力破还不大的含义（即鱼群减少率的上限）在它的约束之下再建立一个模型。关键词：微分方程；捕捞强度；再生产能力；规划模型一、问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度以可持续发展。那么一种合理、简化的策略是在可持续收获的前提下，追求最大产量或最大效益。要求研究的问题是：在一段期间中，对某种鱼的最优捕捞策略。1.1鱼的情况假设这种鱼分为4个年龄组：1，2，3，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组的鱼自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/（1.22×1011+𝑛）。具体数据如下表：i𝑚𝑖(𝑔)r(1/年)𝑢𝑖(个/条)15.070.80211.550.80317.860.80.5545×105422.990.80.5545×105其中，i表示i龄鱼，𝑚𝑖表示i龄鱼的重量，r表示i龄鱼的自然死亡率，𝑢𝑖表示平均每条i龄鱼的产卵量。又渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将于i成正比，比例系数称捕捞强度系数𝑘𝑖,通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为：𝑘3:𝑘4=0.42:1，𝑘1=𝑘2=0.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1.2问题1)建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼条数不变），且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。2)某渔业公司承保这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受太大的破坏。已知承保时各年龄组鱼群的数量分别为,如果122,29.7,10.1,3.29（*109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。二、模型假设1.假设只考虑某种鱼群的繁殖和捕捞，期间不考虑鱼群的迁入和迁出，即假设大规模鱼群数量增长随时间是连续变化的。2.根据模型已知条件，假设鱼群在一年的任何时间都会发生自然死亡，在一年的后四个月都会发生产卵。3.4龄鱼的数量在第4年仍存活的数量占总的数量比例很小，这里可以假设其全部死亡，令其退出完毕。4.不考虑环境的影响，各年龄组的自然死亡率为0.8（1/年）。三、符号说明a年平均固定死亡率，单位：1/年𝑠𝑗(𝑡):t时刻j龄鱼的捕捞总重量，j=3或4t时间，t∈［0,1］H年总收获量，即捕捞总重量jj龄鱼，j=1,2,3,4i年数i∈［0,5］𝑔𝑗j龄鱼每条鱼的平均重量，单位：克𝑠𝑖,𝑗(𝑡)T时刻j龄鱼第i年的捕捞重量，j=3,4k年平均捕捞率，单位：1/年𝑛𝑖第i年的产卵量n每年产卵量𝑥𝑖,𝑗(𝑡)j龄鱼在第i年时刻t的数量𝑥𝑗(𝑡)j龄鱼在时刻t的数量𝐻𝑖第i年总收获量，即捕捞总重量𝑥0(𝑗)j龄鱼在年初的数量𝑥1(𝑗)j龄鱼在年末的数量四、问题的分析(一)对于问题一的分析1.对死亡率a的理解：我们定义平均死亡率a是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数，由假设可知，它是一个环境等其他因素无关的常数。由于鱼群的数量是连续变化的，而1、2龄鱼全年以上及3、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关，与其他因素无关，设鱼群量为x，则在时间［t,t+∆𝑡］内，鱼群数量的减少=鱼群死亡数量，即x(t+∆t)−x(t)=−ax(t)∆t，𝑥(𝑡+∆𝑡)−𝑥(𝑡)∆𝑡=-ax(t).当∆t→0时得：𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡=-ax(t),(1.1)2.对于捕捞强度系数k的理解：题目告诉我们，捕捞强度系数K一定，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼群数量，而不会影响其他的鱼群数量。我们可以看3、4龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与死亡率a有关，类似第一点的分析，可以得到𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡=−ax(t)−0.42kx(t)(1.2)𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡=−ax(t)−kx(t)(1.3)其中x(t)表示3、4龄鱼的鱼群数量，t表示每年的前8个月，即t∈［0,23］.3.对于持续捕获的理解：随着时间的推移，各年龄组的鱼数量必将发生变化，但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一年龄组鱼群年底的数量=下一年龄组鱼群年初的数量（1龄鱼除外），即x1(j)=x0(j+1)(1.4)4.对成活率m的应用又假设知，此种鱼在每年的8月底一次产卵完毕，又已知3、4龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量n表示为：𝑛=1.109×105×[0.5𝑥3(23)+𝑥4(23)](1.5)又已知成活率𝑚=1.22×10111.22×1011+𝑛(1.6)产卵量×成活率=1龄鱼每年年初的数量，即𝑛×𝑚=𝑥0(1)（1.7）5.对最高收获量的描述根据第2点的分析，在t时刻的捕捞重量s(t)=3龄鱼捕捞重量𝑠3(𝑡)+4龄鱼捕捞重量𝑠4(𝑡).而𝑠3(𝑡)=0.42k𝑥3(𝑡)𝑔3,𝑠4(𝑡)=k𝑥4(𝑡)𝑔4，则s(𝑡)=0.42k𝑥3(𝑡)𝑔3+k𝑥4(𝑡)𝑔4（1.8）由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年收获量可以用t时刻的捕捞重量s(t)关于t在捕捞期内的积分来刻画H=∫s(t)dt230,(1.9)要求最高的年收获量即求H的最大值。6.对4龄鱼在年末情形的两个假设：（1）认为4龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既不产卵又不会被捕捞，可以将它们忽略不计，令其退出系统。（2）近似的认为在年末未死亡的4龄鱼的各个特征（例如：重量、产卵个数等）均不发生改变，即仍回到4龄鱼组中。7.模型建立大纲（1）以第6点的第一个假设为基础，建立一个简单的模型I，其实实质上是联立以上分析的几个方程成为一个方程组，其中x0(4)=x1(3).（2）以第6点的第二个假设为基础，改进模型II，使得方程组中的一个方程x0(4)=x1(3)被方程x0(4)=x1(3)+x1(4)代替即可。（二）对于问题二的分析1.问题一的相似之处由于对各年龄组鱼群数量起到影响作用的各因素（例如：平均死亡率、成活率、捕捞期等）不变，因此，在每年各年龄组的鱼群数量变化情况与问题一类似。2.与问题一的不同之处，主要区别在于（1）问题一要求持续捕获，问题二只要求鱼量不受到太大的破坏，不限制各年龄组年初鱼群的数量，因此作为约束条件的方程组中各年龄组的鱼量肯定与年数有关，而不像问题一是常量。（2）问题一中的各变量呈周期变化，因此，只要考虑一个周期的变化情况即可，而问题二则不同，其各年的初始值在变化，因此，要考虑每一年的捕获量，再讲5年求和，得到一个目标函数。综合以上两点，可以得到一个优化问题。3.根据优化问题我们又提出了三个模型模型I：简化使得每一年的捕捞强度系数相同，化为一元函数最优值的求解问题。模型II：考虑每一年的捕捞强度系数不同，得到一个多元函数最优值的求解问题。五、模型的建立问题一模型I：假设4龄鱼在年底推出系统和连续捕获前提𝑡∈[0,1]下如何得到高年收获量。由问题分析可知，可得以下优化问题：maxH=∫s(t）dt230,s(t)见问题分析，（2.1）{𝑑𝑥1(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥1(𝑡)𝑡∈[0,1]𝑑𝑥2(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥2(𝑡)𝑡∈[0,1]𝑑𝑥3(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥3(𝑡)−0.42𝑘𝑥3𝑡∈[0,23]𝑑𝑥3(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥3(𝑡)𝑡∈[23,1]𝑑𝑥4(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥4(𝑡)−𝑘𝑥4𝑡∈[0,23]𝑑𝑥4(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥4(𝑡)𝑡∈[23,1]解I得到𝑥0(3)=1.22×1011𝑒2𝑎−1.22×10111.109×105(0.5𝑒−2×0.42𝑘3+𝑒−2−2×0.423𝑘−23𝑎)(2.2)图：年度总捕获量H随捕捞强度K的变化曲线求解过程见附录。将（2.2）式代入目标函数（2.1）式中得到H关于k的医院函数，再利用一维搜索法求一元函数的最小值的方法上机求得H的最大值，k=17.4664，H=3.886e+011（吨），即k=17.4664时，H取最大。模型II：进一步假设4龄鱼在年末的特征不变，仍当做4龄鱼，则在持续捕捞的情况下，求得最大捕获量。此模型类似模型I也可得优化问题，区别仅在式中，应改为𝑥0(4)=𝑥1(3)+𝑥1(4)同理得x3=1.22×1011e2a−1.22×10111.109×105(0.5e−23(0.42k−a)+e−2−2×0.423k−53a1−e−2k3a)重复模型II的步骤解得k=17.4664，H=3.886e+011（吨）。问题二：根据题意，我们既要保证五年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使公司总收获量最高。但是如果同时满足这两个条件，总的来说很难把握两者之间的度。因此，我们采用首先使捕鱼收获量最大，其次再看其破坏程度是否影响鱼的生长，如果破坏程度能保证不影响鱼的生长，则使用该方法。即五年合同到期后鱼群尽可能接近可持续鱼的情况下使捕捞量达到最大。根据问题的分析可以得到以下优化方程：maxH=max∑(𝑠3[𝑖]5𝑖=1+𝑠𝑒[𝑖]){𝑑𝑥𝑖,1(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥𝑖,1(𝑡)𝑡∈[0,1]𝑑𝑥𝑖,2(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥𝑖,2(𝑡)𝑡∈[0,1]𝑑𝑥𝑖,3(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥𝑖,3(𝑡)−0.42𝑘𝑖𝑥𝑖,3𝑡∈[0,23]𝑑𝑥𝑖,3(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥𝑖,3(𝑡)𝑡∈[23,1]𝑑𝑥𝑖,4(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥𝑖,4(𝑡)−𝑘𝑖𝑥𝑖,4𝑡∈[0,23]𝑑𝑥𝑖,4(𝑡)𝑑𝑡=−𝑎𝑥𝑖,4(𝑡)𝑡∈[23,1]我们将此问题分成了两种情况进行处理。情况一：假定五年中捕捞强度k一直保持不变，即𝑘𝑖=k，且第6年初的各年龄鱼数与平衡捕捞时的年初值𝑥0(j)(j=1,2,3,4)的偏离不超过𝑥0(j)的ε倍。Maxf(k)=∑{17.86∗0.420.42𝑘+0.8𝑥3(𝑖−1)[1−𝑒−2(0.8+0.42𝑘)3]}5𝑖=1s.t{𝑥2(𝑖)=𝑥1(𝑖−1)𝑒−0.8𝑥3(𝑖)=𝑥2(𝑖−1)𝑒−0.8𝑥4(𝑖)=𝑥4(𝑖−1)𝑒−0.8+2𝑘3+𝑥3(𝑖−1)𝑒−0.8+0.84𝑘3𝑁3=1.5∗1.109∗1050.8𝑥3(𝑖−1)𝑒−