浅谈空间距离的几种计算方法

空间距离常见问题：（1）点到平面的距离；（2）两条异面直线的距离；（3）与平面平行的直线到平面的距离；（4）两平行平面间的距离。一、点到平面的距离求解点到平面的距离常用的方法有以下几种：1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。3、用等体积法求解点面距离。例1、如图，在长方体1111DCBAABCD中，,22,2,51AABCABE在AD上，且AE=1，F在AB上，且AF=3，（1）求点1C到直线EF的距离；（2）求点C到平面EFC1的距离。解：（1）连接FC,EC,由已知FC=22，41FC,3482511EC,1091EF101041023416102cos1212121FCEFECFCEFEFC101031011sin1EFC61010341021sin21111EFCFCEFSEFC设1C到EF的距离为d，则5106101212,621EFddEF（2）设C到平面EFC1的距离为hEFCCEFCCVV11131311CCShSEFCEFC又451212221132125EFCS3246224111EFCEFCSCCSh二、两条异面直线的距离1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。2、转化为两个平行平面的距离，再转化为点面的距离进行计算。例3、三角形ABC是边长为2的正三角形，P平面ABC，P点在平面ABC内的射影为O，并且PA=PB=PC=263。求异面直线PO与BC间的距离。分析：过点P作平面ABC的垂线段PO，但是必须了解垂足O的性质，否则计算无法进行。为此连结OA，OB，OC（如图）．则由PA＝PB＝PC可得OA＝OB＝OC，即O是正三角形ABC的中心．于是可以在直角三角形PAO中由PA=263,OA=233，得PO=233。有了以上基础，只要延长AO，交BC于D，则可证明OD即为异面直线PO与BC间的距离，为33。三、直线到平面的距离直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度，一般求解都是转化为求点到平面的距离。例4、已知：正方体1111ABCD-ABCD，1AA=2，E为棱1CC的中点。求11CB到平面ADE的距离。解：ADCBADBCBCCB||,||,||1111ADECBADEAD平面平面11,ADECB平面||1111CB到平面ADE的距离即为点1C到平面ADE的距离设点1C到平面ADE的距离为d，可以用等体积法求出d的值。ADEDECDECADEDECAADECSADSdADSdSVV11113131以下解略。六、两个平行平面的距离通常是把两个平行平面的距离转化为求解点面距离。