浅谈解析几何中的定比分点

浅谈解析几何中的定比分点解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简化较多的计算。定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种：1、定义直接用：APPB（采用向量来解决）例如在OAB中，,OAaOBb，OD是AB边上的高，若ADAB，则实数等于（）A2()ababaB2()aababC()ababaD()aabab本题直接采用向量来解答：ADAB()ODOAOBOA(1)ODOBOA0ODAB2()aabab2、直接用公式1ABpxxx1ABpyyy；3、直接用向量相等,()(,)PABPPABPyyyyxxxx。直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比较多，大致有以下几种：一、将线段比转化为定比分点例如：已知1(4,3)P,2(2,6)P，且122PPPP，求适合条件的点P坐标。分析：这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。例如：设椭圆E：2211xym的两个焦点是1(,0)Fc与2(,0)Fc（0c），且椭圆上存在一2点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，（1）求实数m的取值范围；（2）设l是相应焦点2F的准线，直线PF2与l相交于点Q，若22(23)QFFP，求直线PF2方程。解：（1）1m；（2）设00(,)Pxy点P在椭圆上得220011xym……㈠因为直线PF1与直线PF2垂直所以0001yyxcxc（cm）……㈡由㈠㈡得201mxm由22(23)QFFP知22220123QQmmxcQFQFmPFPFcxmx（1）201mxm时无解。（2）201mxm时，得m=2062x。此时2(2,0)F62(,)22P所以直线PF2方程为(32)(2)yx。本题把22(23)QFFP转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。例如（2006南通九校联考）已知椭圆E的方程为22221xyab（0ab），双曲线H：22221xyab的两条渐近线为1l，2l，过椭圆E的右焦点F的直线1ll，又l与2l交于点P,设与椭圆E的两个交点由上至下依次为A，B。（1）当1l，2l与夹角为60o,且224ab时，求椭圆E的方程。（2）求FAAP的最大值。FPQP3看见这道题很容易想到用第二定义去做，结果发现比值依赖Ax的范围，而Ax的范围需要解方程组，从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。解：（1）略。（2）不妨设1l：byxa1l：()ayxcb()ayxcbbyxa2axcabyc即P(2,aabcc)设A分FP的比为，则A(2,11aabccc)代入，并整理2222(2)32ee而(0,1)e所以22223(21)即FAAP的最大值为21。四、定比分点与整体代换思想联系在一起。例如双曲线H:22213yxa的离心率e=2，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若A、B分别为1l，2l上的动点，且1225ABFF，求线段AB中点M的轨迹方程。略解：（1）渐近线方程：30xy。（2）设(3,)AAAyy，(3,)BBByyA，B中点M(,)xy3()22ABAByyxyyy2223210(33)()ABABABAByyxyyyAByyyy所以中点M的轨迹方程22436300xy。4五、直接求定比分点中的的值像这种求的题，我们可以直接通过定比分点定义计算得到，也可以用几何办法解决。例如（2004.5月黄冈市、荆州市联考）已知动点P到双曲线22123xy的两个焦点F1,F2的距离之和为定值2a（5a），且12cosFPF的最小值为19。（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知点D（0，3），M、N在动点P的轨迹上，且DMDN，求实数的取值范围。解：（1）点P的轨迹方程为22194xy（2）解法一：设11(,)Mxy，22(,)Nxy11(,)OMxy，22(,3)DNxy1122(,)(,3)xyxy1212(3)xxyy所以221122221212194194(3)xyxyxxyy21356y而2[2,2]y所以135261[,5]5。上面的解法，属于纯解析几何解法，其实，我们可以用几何办法很快解决。如图：图一，是最大的时候，5图二是最小的时候，15六、根据定比分点中的范围求最值或值域。例如已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0）、A（3，0）、B（0，3），点P在线段AB图（一）ODNM图（二）ODN（M）5上，且，则OAOP的最大值为（）A3B6C9D12解：设APAB，()OPOAOBOP111OPOBOA11693()696111111OAOPOAOBOA3[0,)1[1,)(0,3]1，所以答案选C。这种题显然是利用的取值范围来求值简单。七、比而不求，转化为向量平行来解决。我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求，转化为向量平行来解决。例如已知椭圆223144xy的弦PB过其中心O，点A是椭圆的右顶点，满足0PAPB2PAPB。（1）求点P坐标；（2）若椭圆上有两点C、D（异于A、B）且()0PCPDOAPCPD，问是否存在实数，使得ABCD？说明理由这道题，很容易想到用定比分点把求出来，从而证明存在，仔细一看，题目并没有要我们求，因而我们可以智取，只需求证AB与CD共线即可。解：（1）点P坐标（1，1）。（2）假设存在，使得ABCD，由()0PCPDOAPCPD知，CPD的平分线垂直于OA，则，PCPDkk。不妨设点P坐标（1，1），设直线PC为y-1=k(x-1)联立方程组2231441(1)xyykx解得C2222361321(,)3131kkkkkk又直线PD为y-1=-k(x-1)，易得D为2222361321(,)3131kkkkkk6所以222222223213211313136136133131CDkkkkkkkkkkkkk，而13ABk所以CD∥AB所以存在，使得ABCD当然，与定比分点的题型解法，多种多样，这里只简单提几种情况，有待进一步发掘和学习。参考资料1、《试吧大考卷》辽宁大学出版社2、《2006年全国各省市高考试卷汇编及详解》中国少年儿童出版社3、《全国著名重点中学高考调研模拟试卷（数学）》吉林文史出版社