浅谈近年高考中的绝对值不等式问题(甘明强)6

浅谈近年高考中的绝对值不等式问题甘明强摘要：绝对值不等式是中学数学的一个重点与难点内容，也是高考的一个热点,近几年高考中常见的绝对值不等式可以大致可分为七种类型，此文分别对这七种类型作了探讨。关键词：高考;绝对值;不等式在不等式问题中，解含绝对值不等式问题显然是重中之重，相对于简单的不含绝对值的不等式来说要复杂得多，往往与其他知识点如函数、线性规划问题等有着密切的联系，是高考中令不少考生头痛的问题之一，大多学生通常在解这类问题时花费了太多时间而计算不出准确的答案，这也使得此类问题成为了高中的一个难点。本文对近年高考中出现的这类问题进行了系列的总结、分类研究讨论其解法，对于即将成为一名教师的我，在以后教学中处理这类问题时会更加的从容自信，思路更加的清晰。一、绝对值不等式问题在近几年高考中的地位下表列出了近三年全国各地高考中涉及到的绝对值不等式问题的情况年份省份题号主要考查的内容分值2009安徽（理）第2题axf)(型绝对值不等式5广东（理）第14题)()(xgxf型绝对值不等式5全国Ⅰ（理）第3题)()(xfxf型绝对值不等式5山东（理）第13题)()(xgxf型绝对值不等式5福建（理）第21题axgxf)()(型绝对值不等式72010江西（理）第2题axf)(型绝对值不等式5安徽（理）第11题axgxf)()(型绝对值不等式5陕西（理）第15题axgxf)()(型绝对值不等式5江西（理）第3题)()(xfxf型绝对值不等式5福建（理）第21题axf)(型绝对值不等式52011山东（理）第4题axgxf)()(型绝对值不等式5安徽（理）第4题axgxf)()(型绝对值不等式5从上表可以看出：这类问题多以选择题、填空题的形式出现在高考卷当中，出现的类型多种多样，分值一般5分左右，也有出现在大题中占分值比较高的，这些题型看似简单，但真正解答起来会显得比较的繁琐，与函数、数列等知识点结合起来，许多考生往往花费了特别多的时间去加以讨论，而出现解不出、结果算错等问题，所以很有必要在此讨论一下这类题型的解法。通常情况下在遇到这一类问题时，我们首先想到的是“分类讨论”“去绝对值符号”“化为一般不等式”这样的步骤来解决，但往往用这样的方法会费时又费力，还会出现意想不到的结果，导致问题不能得到很好的解决，下面我们来浅谈一下这一类问题的简单解法。一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如axfaxf)(,)(型不等式解法：根据a的符号，根据绝对值的定义准确去掉绝对值符号，再进一步求解，这也是其它几种类型的解题基础。(1)当0a时axfaaxf)()(axfaxf)()(或axf)((2)当0a时axf)(，无解axf)(使0)()(xfxfy成立的x的解集(3)当0a时axf)(，无解axf)(使)(xfy成立的x的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合21|21|3,0,3xAxxBxx则A∩B是（）A.11232xxx或B.23xx江西（文）第15题axgxf)()(型绝对值不等式5辽宁（理）第24题)()()(xhxgxf型绝对值不等式10广东（理）第9题)()(xgxf型绝对值不等式5C.122xxD.112xx分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312x即为含绝对值的不等式，这是形如axf)(型的绝对值不等式，其中0a，则axfa)(。解：因为312x所以3123x，即解得)2,1(x解0312xx得，3x或21x所以211xxBA，故答案选D.小结：这是一类最基本的题型，在高考中属于比较容易拿分的一类题型,要注意到其中a的正负，还要注意绝对值与数的大小关系，记住这一类问题的直接解法，在做这类题时就可节约很多时间。2．类型二：形如)0()(abbxfa型不等式解法：绝对值里面的数大于一个正数a小于一个正数)(bab，要去掉绝对值符号，可以将原不等式化为以下不等式求解：即bxfaabbxfa)()0()(或axfb)(。例2不等式311x的解集为（）A.（0,2）B.)4,2()0,2(C.)0,4(D.)2,0()2,4(分析：原不等式是形如)0()(abbxfa型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311xx或，这样就转化为解简单的不等式问题。解：原不等式2420113311xxxx或或.故答案选D.小结：这类绝对值不等式问题相对于其他类型绝对值不等式问题也是比较简单的，需要注意的是转化后的不等式中a和b的位置。3．类型三：形如)()(xgxf，)()(xgxf型不等式，解这类不等式时如果进行分类讨论，就比较的繁琐，其简洁解法如下：解法：把gx看成一个大于零的常数a进行求解（形如类型一）即)()()()()(xgxfxgxgxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxf或例3（2011江苏高考理科第21题选做题D10分）解不等式：312xx.分析：xxxx312312原不等式转化为解不等式xx312,这里把x3看成大于零的数，去掉绝对值符号得xxx3123。解：原不等式xxxxxxxxx3123123123312324xx324x,故原不等式的解集为324x.小结：形如)()(xgxf，)()(xgxf型不等式,在高考题型中属于基础部分，难度不高，多出现在填空题与选择题中，记住这类题型的直接解法才能在高考中遇到这类题时轻易得分。4．类型四：形如)()(xgxf型不等式解法：可以先两边平方，通过移项，将其转化为两式相加与两式相减的积小于零的方法进行求解，即：22)()()()(xgxfxgxf0)()(22xgxf0)()()()(xgxfxgxf例4（2009年山东高考理科第13题5分）不等式0212xx的解集为（）分析：0212xx即为212xx，可以两边平方，通过移项，得到一般不等式0)2()12()2()12(xxxx，然后进行求解。解：原不等式2120212xxxx22)2()12(xx0)2()12(22xx0)2()12()2()12(xxxx3310xx11x故填11xx.小结：这类问题主要是考查学生怎样利用绝对值的定义将原不等式转化，绝对值是大于零的数，故可以将不等式的两边平方，再移项得到一个一般的不等式，然后求解。5．类型五：形如)()(),()(xfxfxfxf型不等式解法：绝对值里面的数小于或大于本身，要去绝对值符号可将这个函数看成是一般的常数理解，先利用绝对值的定义判断原不等式有无意义，然后求解，即)()(xfxf时，原不等式无解，而0)()()(xfxfxf。例5（2010江西理科第3题5分）不等式22xxxx的解集是（）A.(02)，B.(0)，C.(2)，D.),0()0,(分析：本题考查绝对值的定义与化简,绝对值大于本身,则知道02xx，解02xx就得原不等式的解集。解：20022x2-xxxxxx,故选答案A.小结：此类问题在高考题中一般比较简单，关键考查考生对绝对值定义的理解与其解法技巧，遇到此类问题时切记不要把问题复杂化了。6．类型六：形如cnxmxcnxmx,恒成立型不等式解法：利用三角不等式：bababa，结合最值原理即可解得即：mnnxmxnxmxcnxmxc)()(|)(maxmnnxmxnxmxcnxmxc)()(|min例6（2010高考安徽卷第21题10分）不等式aaxx3132对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是（）A.,41,B.,52,C.2,1D.,21,分析：因为函数4)1()3(13)(xxxxxf,所以4)(maxxf从而根据以上解法可以解得。解：设函数4)1()3(13)(xxxxxf所以4)(maxxf而原不等式对任意的实数恒成立，而41432aaaa或，故选A.小结：此类问题运用到三角不等式：bababa，利用此关系式求得最值，根据最值原理得到简单的不等式然后再求解即可，在高考中一般偏难，分值也较高，深入理解其解法非常重要。7．类型七：形如axgxfaxgxf)()(,)()(;)()()(),()()(xhxgxfxhxgxf（其中a为常数）型不等式。解法：对于解含多个绝对值项的不等式，需找零点分段讨论去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，一般步骤为：找到零点，分段，去掉绝对值，综合得出解集。例7（2011年山东理科第4题5分）不等式1035xx的解集是()A.[-5,7]B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7，+∞)D.(-∞，-4]∪[6,+∞)分析：这是形如axgxf)()(型不等式，首先找到零点-3和5，分三段即,5,5,3,3,，再在每个区间根据绝对值的定义去掉绝对值号，最后综合得出解集。解：（1）当3,x时，原不等式41035xxx，解得4x；（2）5,3x时，原不等式1081035xx，x不存在；（3）当,5x时，原不等式61035xxx，解得6x.综上，原不等式的解集为(-∞，-4]∪[6,+∞)，故选D.小结：此类问题在绝对值不等式中比较常见，也较为复杂，在分类讨论时更要仔细，要一步一步到位。三、绝对值不等式问题的高考试题特点根据以上对全国各地高考中出现的一些绝对值不等式问题的探讨与研究，此类试题一般有以下特点：1.试题多以选择、填空题形式出现，难度一般，有些偏难，分值较高;2.此类题通常考查了绝对值的非负性、几何意义、整体性、代数意义以及绝对值的函数图象等问题，对考生的综合知识能力要就求较高，成为考生之间拉分的重要题型之一。四、总结解绝对值不等式的方法虽多种多样，但不要盲目的乱用方法，这样将会导致费时费力的结果，所以，我们平时在学习时，要善于探索方法，将知识点归类，将方法总结，将方法与题型对号入座，以致在分秒必争的高考中能争取宝贵的时间。对于即将成为人民教师的我，在以后面对这类问题的教学时要注意几个问题：定义讲透彻，将基础打牢固，把将会涉及的知识点整合复习，为进一步学习创造条件；注重方法的对号入座，什么样的题型该用什么样的方法一定得让学生从根本上认识清楚，不能盲目的乱搬乱套；加强学生的数学思想建设，掌握好方法是非常重要的，在生活中不断地让学生体会数学方法带来的启示。参考文献[1]杨志远.透析含绝对值不等式问题[J].中学数学参考,2009,(2):39[2]邹波桥.关于绝对值不等式的求解[J].数学通讯,2004,(20):5-6[3]袁新宏.一类绝对值不等式问题新解[J].数学通讯,2003,(20):13-14[4]张久鹏.解一类绝对值不等式恒成立问题的通法[J].中学数学月刊,2010,(03):34-35[5]王金龙.剖析绝对值不等式中的三种题型[J].中学生数理化(高二版),2008,(Z1):41-42[6]林成明.证明绝对值不等式的一些技巧[J].数理化学习(高中版),2004,(19