浅述二重积分的计算方法

1成绩：学年论文题目：浅述二重积分的计算方法学院：数学与计算机科学学院专业：信息与计算科学班级：10信计1班学号：20102230姓名：徐小萌指导教师：过静2013年1月7日2目录摘要……………………………………………………………………………………………….31引言………………………………………………………………………………………………42二重积分的计算…………………………………………………………………………………42.1化累次积分计算法…………………………………………………………………………..52.2几何意义计算法………………………………………………….........................................62.3换元计算法…………………………………………………………………………………..72.4极坐标计算法…………………………………………………………..................................73二重积分的应用…………………………………………………………………………………83.1求平面图形的面积…………………………………………………………………….......93.2求空间立体的体积………………………………………………………………………....93.3求平面薄片的质量………………………………………………………………………....9结束语………………………………………………………………………………………………9致谢………………………………………………………………………………………………10参考文献…………………………………………………………………………………………10.3浅述二重积分的计算方法江西科技师范大学徐小萌摘要：本文介绍了几种二重积分的计算方法，着重从累次积分的计算，变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时研究了二重积分的应用，并通过实例加以说明。关键词：二重积分积分区域换元法极坐标41.引言二重积分是定积分的推广：被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x，y）：积分范围由数轴上的区域推广为平面区域（二重积分）。我个人在学习中就二重积分计算感到比较繁琐，而日常生活中二重积分又有很多应用。通过查阅资料和老师的指点，我认为重积分的计算方法还是有规可循的，我总结了几种方法供大家参考。2.二重积分的计算一般二重积分计算需要决定积分区域，再决定积分次序。这就是我们要研究的累次积分计算法。2.1化累次积分计算法二次积分在直角坐标系下可分为两种不同次序积分：一是先积y后积x的累次积分，即：若f（x，y）在矩形区域D=[a，b]*[c，d]上可积，且对每个x[a，b]积分dcyxf），（dy存在，则累次积分dcbayxfdx），（dy也存在，且：dyxfD），（=dcbayxfdx），（dy二是先积x后积y的累次积分，即：若f（x，y）在矩形区域D=[a，b][c，d]上可积，且对每个y[c，d]，积分dxyxfba），（存在，则累次积分dxyxfdybadc），（也存在，且：dyxfD），（=dxyxfdybadc），（特别当f（x，y）在矩形区域D=[a，b][c，d]上连续时，则有：dyxfD），（=dcbayxfdx），（=dxyxfdybadc），（例1计算2-y2exDd，其中D是由x=0，y=1及y=x围成的区域。解：（1）由题意知交点坐标分别为A（0，0）B（0,1）C（1,1）5（2）画出积分区域D的图形，D：xy1y0x（3）此题可化为先积x后积y的累次积分，即：2-y2exDd=dxexdy2y-y0210=dxxdyey0210y-2=dyey312y-310=3e1-61需要注意的是累次积分要选择适当的积分次序，积分次序的选择不同直接影响计算的繁琐，甚至计算不出结果来。要尽量将积分区域少分块，以简化运算过程；第一次积分的上、下限表达要简单。例2计算Dd，D是由直线y=2x，x=2y，x+y=3所围成的三角区域解：（1）由题意知交点坐标分别为A（2,1）B（0,0）C（3,0）D（1,2）（2）画出积分区域D的图形，D：3yx2yx2xy（3）把区域D划分成D1和D2且先积y后积x的累次积分，即：Dd=1dD+2dD=2x2x10dydx+x-32x21dydx=dx2x-2x10）（+21dy2x-x-3）（=232,、2几何意义计算法积分区域有时是特殊面，如圆柱面、球面、椭球面等我们可以利用他们所表示的几何意义来计算。例3求两个底面半径相同的直角圆柱所围立体的体积V解：设圆柱底面半径为a则两援助方程为：222222azxayxz=22x-aV=Ddyxf），（=dx-a22D6D：41圆x222ayV=adx0x-a02222)x-(ady=332a例4计算I=Ddxxy2，D：y2=2px，x=2p（p0）(1)由题意可知交点坐标分别为A(p-2p，),B(PP,2),C(0,0)（2）画出区域D的图形，D：2px2pxy2（3）可化为x-型区域，则化为先x后y的累次积分，即：I=Ddxxy2=pp-2p2py22dxxydy2py2p2xy22pp-2）（dy=21p52.3换元计算法计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得。适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。下面以定理给出。定理：设f（x，y）在有界闭区域D上可积，变换T：x=x（u，v），y=y（u，v）将uv平面按段光滑封闭曲线所围成的闭区域D'一一地应成xy平面上的闭区域D，且满足：（1）函数x=x（u，v），y=y（u，v）在D'内分别具有一阶连续偏导数（2）在D'上有雅可比行列式J=vyuyvxux0则Ddyxf），（=Ddudvyvv)J(u,v)](u,,u,f[x）（7例5求dxdyeDyxyx-，其中D是由x=0，y=0，x+y=1所围成的区域解：令u=x-y，v=x+ydxdyeDyxyx-=dudvJeDvuv)(u,'=dudveDvu'21=10-21dudvedvvvvu=dvvvevvu-2110=dvv101-)e-(e21=1--41ee例6求由y2=mx，y2=nx，y=x，y=x，（0）,（0mn）所围成的面积解：令u=xy2v=xyvuyvux2S=Ddxdy1='v)J(u,Ddudv=dudvuvvuvvD'2-3-2-12-1=dudvv2uvu-44‘D=dudvvu'4D=nm4ududvv1=)-)(m-(n61-3-3-22选择适当的变换方法才有效，选择变换的基本要求是：变换后定限简便，求积容易。2.4极坐标计算法计算二重积分时，要从被积函数和积分区域两个方面选取适当坐标系，选择适当坐标系可以简化积分运算。sincosxryrJ（r，）=cossinsin-cosrr=rDdxdyyx）（,f=rdrdfD'))y(r,),(x(r,1.不包含圆点的区域8Ddxdyyx）（,f=rdrr)()r(21)rsin,f(rcosd2.封闭且包含圆点区域Ddxdyyx）（,f=rdrdr20)(0)rsin,f(rcos3.不封闭但包含圆点Ddxdyyx）（,f=rdr)r()0)rsin,f(rcosd例7I=dD)y-(x22eD:x222Ry解：I=2002002--2221RRrrdredrdred=dRer20-0-212=)e-(12-R2.二重积分的应用3.1求平面图形的面积由二重积分的几何解释可以知道：以曲面Z=（x，y）为顶点，以D为底的直曲顶柱体的体积为：V=Ddxdyy)f(x,，特别当f（x，y）=1时，平面D的面积为：S=Ddxdy1例8求锥面Z=2a-22yx在xoy平面上方的物体的体积解：V=Ddyx)-(2a22=2020r)rdr-(2aad=42a3.2求空间立体的体积例9球体：x2222zyR被圆柱面：xyx22R所割下部分体积（维维安尼体）解：Z=f（x，y）9D：xyx0yyx22R，），（V=Ddxdyy)f(x,=4dy-x-222DR=420cos022rdrr-dRR3、3求平面薄片的质量由二重积分的物理解释可以知道，密度为f（x，y）的平面薄片D的质量为：m=Ddxdyyx）（,f例10设平面薄片D是由x+y=2，y=x，和x轴所围成的区域，它的密度是22yxyx），（，求该薄片的质量解：平面薄片Dm=Ddxdyyx）（,解方程组2yxyx得两曲线的交点为（1,1）因此区域D为：yy-2x，01ym=dxyxdy10y-2y22）（=43dyy37-2yy-23110323）（二重积分在其它学科领域中应用较为广泛，尤其是赋予二重积分实际意义，非常有使用价值，在解决实际问题时需要建立模型、列出二重积分式、计算二重积分。结束语：二重积分是数学分析中一个非常重要的内容，它在许多方面有着广泛的应用。本文主要通过论述与举例，阐述了如何灵活地计算二重积分及二重积分的简单应用。但在计算二重积分时需要注意一个问题是：将二重积分化成累次积分是关键。从上面所给的例题中不难看出，只要方法得当，二重积分的计算还是比较容易解决的。由于本人只是掌握的还不够全面系统，仅能总结归纳出以上几个方面，在今后得学习与探讨研究过程中，还可能会发现二重积分的其它解法。10参考文献：【1】华东师范大学数学系，数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.【2】陈传璋等，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983【3】林子植老师，过静老师数学分析与高等代数习题课讲义[M].2010【4】高等数学以及其教学软件上册上海交通大学集美大学编[M]2006【5】《数学分析的概念与方法》上册王向东。[M]上海科学技术文献出版社，1989致谢：本课题的研究是通过林子植老师的上课讲义等完成的，他严肃的科学态度，一丝不苟的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。他上课讲课仔细通俗易懂，解题过程中的每个步骤都讲得很详细。正是由于他不厌其烦的教导和帮助，我的研究工作才能有条不紊的进行。在此，我衷心地向林老师以及学校了所有关心我的老师和同学们表示感谢！徐小萌2012年12月11江西科技师范大学数学与计算机科学学院学年论文成绩评定表学生姓名徐小萌学号20102230专业信息与计算科学班级10信计1学年论文选题浅述二重积分的计算方法成绩一级指标二级指标(A级)(B级)(C级)(D级)项目小计选题质量(16分)选题指导思想4321题目难度4321选题工作量4321结合实际程度4321能力水平(32分)综合运用知识能力8642调研及应用资料能力8642文献检索能力8642计算机应用能力8642论文质量(48分)论文撰写水平12963规范化程度12963创新性程度12963结论或者成果价值12963写作态度（4分）完成学年论文的积极性和主动性4321注：每个评分项目只给1个分数，在指标项处划“√”；总评成绩按“五级制”折算。指导教师综合评语：指导教师签名：日期：12教研室主任：