浙江大学复变函数模拟试卷2份

第一部分（共40分）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1、设z=1-√3i，则（）ππA、|z|=2，argz=----B、|z|=1，argz=---33ππC、|z|=4，argz=----D、|z|=2，argz=---332、下列复数表达式中正确的是（）πA、-1=eiπB、-1=-e-iπC、-1=-eiπD、-1=e-2i（1+i）（2-i）3、-------------=（）I2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i4、函数f（z）=|z|2在复面上（）A、处处不连续B、处处连续，处处不可导C、处处连续，仅在z=0点可导D、处处连续，在z=0点解析5、在复数域内，下列数中为实数的是（）A、（1-i）3B、iiC、1niD、√-86、解析函数的实部u（x，y），和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为（）uυuυuυuυA、---=---,---=---B、---=---,---=----xyyxxyyxuυuυuυuυC、---=---,---=---D、---=----,---=---xxyxxyyx7、2sini=（）A、（e-1-e）iB、（e+e-1）iC、（e-e-1）iD、e-e-18、设f（z）=u（x，y）+iυ（z，y）是一个解析函数。若u=y，则f′（z）=（）A、iB、1C、1D、-i9、设C是从z=0到z=1+i的直线段，则积分∫zdz=（）cA、0B、2C、1D、1+i10、设C为正向圆周|z|=1，则积分∮ezdz=（）cA、1B、2πC、0D、2πii11、积分∫zsinzdz=（）-iA、2πiB、0C、1D、-2e-1i12、设C1为正向圆周|z|=1，C2为正向圆周|z-2|1，则积分1cosz1sinz----∮----dz+----∮---dz=（）2πic1z-22πic2z-2A、sin2B、cos2C、0D、2πiz513、设C是围绕z0点的正向简单闭曲线，则积分∮---------dz=（）c（z-x0）3A、0B、2πiC、2πz50iD、20πz30i14、复数列an=e-in，n=0，1，2，…则liman（）n→∞A、等于0B、不存在，也不是∞C、等于1D、等于∞15、在z=0的领域内1n（1+z）=∞（-1）n-1∞znA、∑--------znB、∑---n=1nn=1n∞1+（-1）n∞C、∑--------znD、∑（-1）n-1znn=1nn=1∞1+（-1）n16、幂级数∑----------zn的收敛半径为（）n=03n1A、9B、3C、---D、+∞3∞（-1）n17、罗朗级数∑---------的收敛圆环域为（）n=0（z-2）n+2A、1|z-2|2B、1|z-2|+∞C、0|z-2|1D、2|z-2|+∞1118、z=1是函数-------cos------的（）（z-1）5（z-1）5A、本性奇点B、可去奇点C、5阶极点D、10阶极点19、设z0是函数f（z）的m阶极点，则Res[f（z），z0]=（）1dmA、---lim---[（z-z0）mf（z）]m！z→z0dzm1dm-1B、------lim-----[（z-z0）m-1f（z）]（m-1）！z→z0dzm-11dm-1C、------lim-----[（z-z0）mf（z）]（m-1）！z→z0dzm-1D、lim（z-z0）mf（z）z→z020、保角映射w=ez将Z-平面上的带形区域0Imzπ映射成（）A、上半复平面B、单位圆外部C、整个复平面D、单位圆内部第二部分非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。21、（1+i）4+（1-i）4=。22、设D为复平面上单位圆的外部，则D={z|}。23、函数w=z2将z-平面上的上半虚轴映射成W-平面上的。24、方程ez=1的解为z=。25、Ln（1+z）=ln|1+z|+。i26、∫e2zdx=。-i27、设a,b是常数，且|a-3|2,C为正向圆周|z-3|=2，则ebz∮--------dz=。C(z-a)4∞zn28、幂级数∑----的和函数为。n=0n!129、函数zcos------在0|z-1|+∞,内的罗朗级数为。z-130、将割去负实轴的复平面映射成上半平面的保角映射是w=。三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31、设z=x+iy,f（z）=u（x，Y）+iυ（x，y）是解析函数。已知u（x，y）=3x2y-y3，f（i）`=-1，试求f（z）（用z表示）。2z-132、设C为正向圆周|z|=2，计算积分I=∮-----dz。CZ(Z-1)133、将函数f（z）=-------在圆环1|z|+∞内展开成罗朗级数。z（z2+1）134、计算函数f（z）=-------------在复平面内各奇点处的留数。（z+1）（z+3）3四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）。+∞xsim2x35、利用留数计算积分I=∫-------dx。-∞x2+436、试求保角映射w=f(z)，把Z-平面的上半单位圆域|z|1,Imz0射成为W-平面上割去正实轴的复平面，并将点z=-1,1，i分别映射成w=∞,0,1。37、积分变换（1）设F（ω）=F[f（t）]。试证明F[F（-t）]=2f（ω）。（5分）（1）利用拉氏变换解微分积分方程：ty′（t）-∫cosτ·y（t-τ）dτ=a，t0{0y（0）=0（其中为常数）一.计算（32分，每题8分）1.求ln(1)(1)iii.2.计算积分1dnCzz，其中曲线:eiCz，从2变到2。3.计算积分273d(1)zzzzz，曲线正向.4.利用留数理论计算定积分22cosd.(1)(9)xxxx.二．（8分）利用留数理论证明220(2)!sind.(2!)nnnn三.（10分）设函数3232()()fzmynxyixxy是全平面的解析函数，应用柯西一黎曼方程（1）求，m，n的值；（2）求()fz.四.（10分）把函数221()(1)fzzz在环域：（1）01z；（2）1z中展开成罗朗级数；并指出Res();0fz的值.五.（15分）（1）证明拉氏变换的时移性质，即证明：若()()LftFs，则对于00t，有00()e()stLfttFs.（2）应用时移性质求函数()sin(2)ftt（实数）的拉氏变换.（3）求函数2sin2tata（a实数）的拉普拉氏变换。六.（15分）1、映射zizi变区域0,0Dxiyxy为什么区域？说明理由.2、求将区域;arg08Dzz保角地映射为W平面上区域;11Dww的任意一个映射.七.（10分）设()fz在单连通区域D内除点z0外解析，在z0点近旁有0()fzMzz，这里常数0,(0,1)M，证明：对于D内包含z0的任何简单闭曲线C，有()d0.Cfzz