有限元与数值方法-讲稿5-2有限元的基本概念.

1有限元与数值方法第五讲有限元法的一般原理与基本格式----有限元的基本概念授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：[e-mail]教室：综合教学楼351时间：2013年4月12日：8：00—10：202弹性力学问题的有限元法有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法静定桁架的内力可以通过节点的平衡方程求得，由内力和杆件断面积可求得杆件应力、应变，再求得节点位移PP静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。3有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。由节点的平衡方程就可求得节点位移；这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩阵适当地组装得到。2211221122222222cos,sin,xxyyxxyyFuccsccsFucsscssEFFuLccsccsFucsscsscsFkUk或称为单元刚度矩阵F2x,,u2xF2y,,u2yF1x,,u1xF1y,,u1y12P4杆系有限元方法以桁架结构为例，介绍有限元的基本思想5杆单元的有限元分析一维线性杆单元基本假定：1.只能承受拉压内力（各杆两端的约束条件使得弯曲、扭转、剪切不能传递）2.轴线为直线3.材料满足胡克定律自由转动121F2F21FF桁架结构6位移插值)(xu)(2Luu)0(1uu建立轴线方向的坐标系记任一点轴向位移为并将节点位移表示为2211)()()(uxNuxNxu建立杆件位移与节点位移的插值关系其中，形函数必须满足1)(,0)0(,0)(,1)0(2211LNNLNN1N1122N121节点位移协调关系满足7xaaxN101)(xbbxN102)(可简单地将形函数取为一次多项式的形式：10a00b)/1(1LaLxb/11)0(1N0)0(2N0)(1LN1)(2LN考虑到边界条件，可得到LxxN/1)(1LxxN/)(2因此位移插值杆上无分布力时，一次多项式可精确描述杆件变形8位移及应变21)/()/1()(uLxuLxxu1122()[()()]uuxNxNxduN小位移假设下，应变为位移模式为121122[()()]xdudddxdxuuuddNxNxudxdxLN位移模式包括刚体位移和常应变模式N形函数矩阵B应变矩阵11,xdBLLB1122[(),()];uNxNxduN9单元刚度阵LuuEExx12利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为)(12uuLAEAPx则节点力为)(121uuLAEF)(122uuLAEF11221111uFAEuFLr其矩阵形式表示为1111eLAEK单元刚度矩阵,xdEESLLSS应力矩阵1F2F10XYxyXYxyi坐标变换矩阵设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标。为任意单元i端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为X、Y；在单元坐标系中的分量为x、y。X、Y在单元坐标x轴上投影的代数和给出x。同理，X、Y在单元坐标y轴上投影的代数和给出ycossin)cossin()(sincos)sincos()(2121'22121'1YXYXyYXYXxeeeeeeeeee11即jjiivuvu',',','jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos''''坐标变换矩阵YXyxcossinsincos令表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量，表示两个端点的位移矢量在全局坐标系的分量，则jjiivuvu,,,12上式可写成eeRdd'坐标变换矩阵[R]的具体内容为：用节点坐标描述方向余弦：cossin00sincos0000cossin00sincosRLYYLXXijijsin,cos坐标变换矩阵（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点i和节点j在全局坐标系中的坐标值13平面内任意方向的杆单元dTd111222cossin0000cossinuuvuuvxyx122u12uud1uxyx122v1122uvuvd2u2v2u记为TrTr而节点力列阵满足(或)rTreKdr由单元局部坐标系下的关系可得到eTTKTdr或写成eKdrTKTKeeT其中1111221222,(,;,)FFFFFFrr141.整体节点位移11(,,,)nnuvuvd单元节点位移：总体控制方程：单元集成分析桁架结构expexp;eedTddTd扩充矩阵expT2.整体节点力111212(,,,)nnFFFFFexpeeFTFeexpeexpexpexpeexp();eeeeeeKdFTKTdTFFKdFKTKT15边界条件全局平衡方程654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的04321UUUU零位移约束条件16边界条件处理654321656665646362615655545352514645444342413635343332312625242322211615141312110000FFFFFFUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk零位移约束条件代人平衡方程，得到约束反力外载荷未知位移17对于一般的指定位移约束，可将方程分块为acacaaaccaccFFUUKKKK其中，是指定位移，是主动位移cU654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk边界条件即aU18在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为sincossincos)(4)(3)(2)(2)(1)(1eeeeeeUUuUUu根据位移插值关系2211)()()(uxNuxNxu单元应变和应力可给出单元轴向应变为)()(1)(2)(2)(1)()()(2)(121)()()(11)]()([ddd)(deeeeeeeeeeeeLuuuuLLuuxNxNxxxu)()(eeE由胡克定律可进一步给出单元轴向应力为19)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(2)(1sincos0000sincoseeeeeeeeeeUUUUUUUUuuT单元应变和应力而由)(4)(3)(2)(121)()()()]()([ddd)(deeeeeeeUUUUxNxNxxxuT)(4)(3)(2)(121)()()()()]()([ddd)(deeeeeeeeUUUUxNxNxExxuEET可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力20连续体问题的有限元方法的基本思想21有限元法(FEM)是求解偏微分方程边值问题近似解的数值方法uuv边值问题未知量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量（如位移、温度、流体速度等）边界条件是给定的场变量值或者其偏导数有限元法的基本概念22有限元法的基本概念有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，通常称为“单元”或“有限元”。对每一单元假定一个分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。有限元法方程的系数矩阵通常是稀疏的，便于求解。有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程结构分析问题。有限元法应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等23(a)二维问题的几何域(b)三角形单元(c)有限元网格的一部分单元有限元网格有限元法中的离散各种几何形状的有限元单元24三角形的顶点称为节点（node）节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解node热传导问题的三角形单元1T3T2Tnode有限元法中的场变量表示以平面热传导问题的三角形单元为例25除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？单元内部点的场变量值由单元节点的插值(interpolation)给出:iTkTjTT=?有限元法中的场变量表示kkjjiiTyxNTyxNTyxNyxT),(),(),(),(,,和是插值函数，称为位移函数或形函数。插值函数所包括的多项式阶数越高，越能精确表示位移分布。iNjNkN26常见平面单元形状与节点数三节点三角形单元CST(常应变单元)六节点三角形单元二次插值八节点四边形单元二次插值CST三角形单元网格划分简单，但对于弯曲过刚；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于CST单元四边形单元剖分有时比较困难，但性能较好四节点四边形单元双线性插值xyayaxaavxyayaxaau8765432127四节点四面体单元线性插值（常应变）十节点四面体单元二次插值（线性应变）八节点四面体单元Lagrange单元非完全三次插值二十节点Serendipity单元四面体单元网格剖分简单，但四节点四面体精度较差八面体单元精度较好，但网格剖分比较困难常见三维单元形状与节点数28一维单元(x)(x)(x)不同形式的单元插值29二维单元不同形式的单元插值30三维单元不同形式的单元插值(x,y,z)(x,y,z)31有限元法总体思路有限元法通过加权余量法（或变分法、最小势能原理、虚功原理等）将偏微分方程转变为代数方程，便于计算机处理将求解域剖分为网格，对节点变量进行单元分片插值值单元矩阵形成规范化，形函数只与坐标有关，便于计算机计算单元刚度