有限元与数值方法-讲稿6-7弹性力学有限元的一般原理与格式.

1有限元与数值方法第6讲授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：[e-mail]教室：综合教学楼351时间：2013年4月19日：8：00—10：502第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式2.1弹性力学有限元的一般格式平面问题的有限元格式弹性力学有限元的一般格式和求解步骤有限元解的性质和收敛准则2.2单元与插值函数的构造2.3等参元与数值积分等参元与数值积分典型的等参单元2.4有限元法应用中的实际考虑建立有限元模型：计算结果的性质和处理子结构法对称性和周期性的利用非协调元与分片实验3位移、应变与几何方程yvy000000[]00xyzLzyzxyx位移应变(1,2,3);{}(,,)iuiuuvwxuxzwzxyvuxyyzwvyzzxwuxzTxyzyzzxxy1()2jiijjiuuxxLu4,1,2,3ijijklklCij线弹性本构关系的张量表示一般的各向异性材料的线弹性应力－应变关系：{}[]{}Dσε100011100011100011(1)[]12(1)(12)000002(1)12000002(1)12000002(1)ED2222011[]01100EEEEDG5u边界条件在位移边界条件上：在应力边界上：iiuuuijjint平衡方程：最小总是能原理01,2,3ijijfixijjinf7位移法有限元分析的步骤一、结构的离散化离散化----将连续体结构划分成有限个单元，并在单元的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性。为了使该离散的计算模型有效地逼近实际的连续体，就需要合理选择单元的形状和网格，确定单元和节点的数目、节点的位置和自由度等问题。1、单元的几何形状选择单元的形状既要考虑单元的精度和计算量，又要考虑对边界形状的适应性。8给定一个三角形单元和作用在角点上的六个力，要求得六个角点的位移。或者是要求三角形角点发生指定的位移，在三角形三个角点如何加力？采用瑞雷－里兹法求近似式解31v1u12v2u2v3u3f1xf2xf1yf3xf2yf3yppSS1,,2(,,),(,,)0TTpTTUVDdpudsSuxyzNxyzBBDBdpNds为三角形为三个顶点令代入,其中，是三个顶点的六个位移组成的向量aaaaa5.2.平面问题的三角形单元：（1）三节点三角形单元9单元分析（构造）：位移模式1(i)2(j)3(k)对节点1：112131112131uxyvxy对节点2：212232212232uxyvxy对节点3：312333312333uxyvxy3节点三角形单元：123123uxyvxy2212345622123456......uxyxxyyvxyxxyy单元内任一点位移：线性插值—平面u1u2u310111122223333111uxyuxyuxy1111122223333111xyuxyuxyu形函数（插值函数）112323,,,,vvxyNxyNxyNxyvv同理：11111222233331123231,1111,,,xyuuxyxyxyxyuxyuuNxyNxyNxyuu所以u1u2123u3v1v2v3111111222233331,21,21,2NxyabxcyANxyabxcyANxyabxcyA11(,,)11jjjjiiikkkkxyyxabcijkxyyx其中：1(i)2(j)3(k)33221111121yxyxyxA以上系数可由3x3方阵的逆矩阵的行列式表达推导出三角形单元形函数的具体形式为：三节点三角形平面单元的形函数12三角形的面积坐标3001110220111111011222011ijjkkjjjjjjkkkkkkAPjPkxxyyxxyyxyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxyeijkPAi以上推导利用了行列式的线性变化性质三角形的面积坐标用直角坐标表示为：同理，三角形的面积用直角坐标表示为：11121iijjkkxyAxyxy13ijkPAi三角形的面积坐标定义：三角形的面积坐标为/;/;/iijjkkLAALAALAA面积坐标的特点：(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)ijk（1）三个角点的面积坐标分别为（1）面积坐标不相互独立：1ijkLLL14ijkPAi用面积坐标表示的形函数三角形的面积坐标与直角坐标的关系：11/1211()()()2iijjkkjkkjjkkjxyLAAxyAxyxyxyyyxxxyA1,(1,2,3)2iiiiNxyabxcyiA与前述三角形形函数对比知三角形的面积坐标就是形函数，即(1,2,3)iiLNi16(1)1,0ijjijNxyij(2)31,1iiNxyiiiuv3121233121123212330,000,00000000NuxyNNdNvxyNNNNNNNN11NeeiidNNB形函数的性质及位移插值Ni=1ijkNi=1ijkNj=1Nk=1思考：物理意义是什么？edN位移：17求导，可得到单元内任一点的应变和位移关系：0000xeyxyxxuNvyyyxyxB单元应变矩阵])()()[(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu])()()[(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA对位移函数1812312312300000000xNNNBBBBNNNyyx00iiiiiNxNByNNyxeB单元应变矩阵00010002iiijmjijmjiijjmmmmubbbucccAcbcbcbu进一步表示为：定义单元应变矩阵：则单元内应变可表示为：常应变112233eeeBBB1NeiiiB19应力：xeeyxyDDBS单元应力矩阵]][[][BDS称为单元应力矩阵20单元应变能和外力势能的矩阵表达1()21{}{}2xxyyxyxyATAUhdxdyhdxdyATTAThdxdyBDBhdxdyDU]][[][}{21}]{[}{21应变能U为：ijmxyhTTTTDD)(B将代入，得到21由于和T是常量，提到积分号外，上式可写成12TTAU{}[B][D][B]hdxdy{}引入单元刚度矩阵[k]：AThdxdyBDBk]][[][][注意到其中hdxdy的实质是任意的微体积dv。单元刚度阵[k]的一般式是Tv[k]BDBdv单元应变能和外力势能的矩阵表达单元应变能写成}]{[}{21kUT22单元外力势能单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等单元应变能和外力势能的矩阵表达（1）单元上体积力具有的势能Vv为{}{}{}[]{}TTTvVVAAVuqhdxdyNqhdxdy①②③④（2）单元表面力的势能Vs为{}{}{}[]{}TTTSSSllVuqhdlNqdA23单元应变能和外力势能的矩阵表达（3）单元上集中力具有的势能VC为（4）外力总势能Vs为}{}{CTCPVCSVVVVVlCSTAVTTphdlqNhdxdyqN}{}{][}{][}{24由单元的应变能U和外力势能V,可得单元的总势能1{}[]{}{}{}2eeeTTdUVkF以节点位移为未知量，对总势能取极值问题，得到单元的平衡方程0}{能量原理和单元平衡方程}{}]{[dFk25由单元的应变能U和外力势能V,可得单元的总势能1(){}[]{}{}{}21{}[]{}{}{}2eeeeTeeeTedTTdUVKFKF以节点位移为未知量，对总势能取极值问题，得到单元的平衡方程0}{能量原理和整体的平衡方程[]{}{}dKF27基本问题：给定一个三角形单元和作用在角点上的六个力，求六个角点的位移。或者是要求三角形三个角点发生指定的位移，在三角形三个角点如何加力？采用瑞雷－里兹法求近似解，引入近似的许可位移：31v1u12v2u2v3u3f1xf2xf1yf3xf2yf3y123112233123000,000,TTeNNNuxyduvuvuvNNNNvxy应变：0000xTTeeyxyxxuNBvyyyxyx三角形单元总结28pS112233e11223311221=20,TTTTeeTTTeeeeTTTTTeeeeeexyxyxyxyxyxyTeUVDdpudsDdFBDBdFBDBdFKFFFFFFFFuuuuuuKBDBd或其中三角形单元总结代入最小势能原理：111121311112122231313233eTeTTBKKKKBDBBBdKKKBKKK22eTijijKBDBd刚度阵对称性：TeeKK3031有