有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法.

第七章FIR滤波器的设计主要内容概述线性相位FIRDF约束条件和频率响应窗函数法频率取样法7.1概述：IIR和FIR比较IIR与FIR性能特性比较IIR数字滤波器：幅频特性较好；但相频特性较差；有稳定性问题；FIR数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多IIR与FIR设计方法比较IIRDF：无限冲激响应，H(Z)是z-1的有理分式，借助于模拟滤波器设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIRDF：有限冲激响应，系统函数H(Z)是z-1的多项式，采用直接逼近要求的频率响应。设计灵活性强缺点：①设计方法复杂；②延迟大；③阶数高。FIRDF的技术要求：通带频率ωp，阻带频率ωs及最大衰减αp，最小衰减αs很重要的一条是保证H(z)具有线性相位。7.1概述：IIR和FIR比较7.1概述：FIRDF设计方法FIR数字滤波器设计FIR滤波器的任务：给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定h(n)及阶数N。两种设计方法：窗函数加权法频率采样法7.1概述：FIRDF零极点FIR滤波器的I/O关系：10Nry(n)h(r)x(nr)0121(),,,,...,hnnNFIR滤波器的系统传递函数：12110011NNNrNrh()zh()z.....h(N)H(z)h(r)zz在Z平面上有N-1个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点，永远稳定。FIR系统定义：一个数字滤波器DF的输出y(n)，如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入x(n),x(n-1),.......,x(n-N+1)，则称之为FIRDF。FIR滤波器的单位冲激响应：FIRDF的频率响应为：FIR滤波器的最重要特点是能实现线性相位。具有线性相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器中应用最广泛的一种。1j()r0()()H()eNjjnnHehneH(ω)：幅度函数，它是一个取值可正可负的实函数。θ(ω)=arg[H(ejw)]为数字滤波器的相位函数。7.1概述：FIRDF频率响应信号通过线性滤波器时，其幅度和相位可能会发生改变，滤波器增益|H(ω)|和相位θ(ω)可能会随频率的变化而改变。如：输入正弦信号Acos(nω0)则：输出为|H(ω0)|Acos(nω0＋θ)，其中相移θ＝θ(ω0)输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数n(位移)可由下式求得:设：nω0＋θ＝0000()n--－滤波器在数字频率ω0处的相位延迟（位移）由于相位延迟n的不同，最终产生了相位失真。确保不产生相位失真的办法：使不同频率的信号通过滤波器时有相同的延迟n。7.1概述：相位失真对不同的频率有恒定的相移，会产生相位失真.如：方波y(t)可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：41111y(t)[sin(t)sin(3t)sin(5t)sin(7t)sin(9t)3579若每个正弦波相移π/2弧度：确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法：随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使系统的相位函数θ(ω)为频率ω的线性函数来实现。7.1概述：相位失真p41111y(t)=[cos(t)cos(3t)cos(5t)cos(7t)cos(9t)]3579可见相移之后正弦波之和已不再是方波。7.2线性相移FIRDF约束条件和频率响应三个内容：约束条件恒延时滤波偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立奇对称：仅恒群延时成立频率响应TypeI：h(n)偶对称、N为奇数TypeII：h(n)偶对称、N为偶数TypeIII：h(n)奇对称、N为奇数TypeIV：h(n)奇对称、N为偶数FIRDF零极点分布相延时：()()p群延时：()()gdd7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时滤波恒延时滤波滤波器的延时有相延时和群延时两种10()()()()|()|()NjjnjjjnHehneHeeHe令j()=arg[H(e)]恒延时滤波器：τp(ω)或τg(ω)是不随ω变化的常量，这时滤波器具有线性相位特性。()（负号是因为系统必有时延）由于FIR滤波器的频率响应为:1010()()()[cossin]NjjnnNnHehnehnnjnwθ(w)01010()sin()arg[()]arctan()cosNjnNnhnnHehnn故:恒相延时和恒群延时同时成立要使τp、τg都不随ω变化,θ(ω)必须是一条过原点直线7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时滤波于是:1010()sinsintan()cos()cosNnNnhnnhnn1100()sincos()cossinNNnnhnnhnn100()in()Nnhnsnh(0)sin()h(N-1)sinh(n)sin-nh(N-0{h(1)sinh(0)sin()h(N-1h(11-(hN-1)(N-2)s)s)sinin-(-n)si(nN(N-1-n-2)N-1}in0))－－＋－－7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时可以证明，当112()[()](0nN-1)NhnhNn且12()()pgN上式成立，此时恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的必要条件是：不管N为偶数，还是N为奇数，系统冲激响应h(n)都关于中心点(N-1)/2偶对称。当N为奇数时对称中心轴位于整数样点上;当N为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。h(n)为偶对称，N为偶数012N7nh(n)h(n)为偶对称，N为奇数012N6nh(n)7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时02()于是有：1010()sincos()tancot2sin()()cosNnNnhnnhnn1100j()()H()e()()[cossin]NNjjnnnHehnehnnjn只要求恒群延时成立若只要求群延时τg(ω)为一常数，则相移特性为不过原点的直线。0ωθ(ω)21010()sin()arg[()]arctan2()cosNjnNnhnnHehnn故7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒群延时1100()coscos()sinsinNNnnhnnhnn10()cos()0Nnhnn可以证明，当112()[()](0nN-1)NhnhNn且12()gN上式成立，此时故7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒群延时FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应h(n)对中心点(N-1)/2成奇对称。此时，无论N为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有π/2的固定相移：因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1)/2个取样点的延迟，还将产生90o的相移，通常这类滤波器又被称为90o移相器，并具有很好的应用价值。N-1()22＝1111222NNNhhNh当N为奇数时，故102Nh012N7h(n)为奇对称，N为偶数nh(n)012N6h(n)为奇对称，N为奇数nh(n)7.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒群延时00,()12()(1)NhnhNn相时延和群时延同时成立奇对称：θ(ω)对所有的频率成分都有一个90°相移。因此，有四种类型的FIRDF：7.2.1线性相移FIRDF约束条件线性相位约束条件对于任意给定的值N，当FIR滤波器的h(n)相对其中心点(N-1)/2是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是τ=(N-1)/2。偶对称：θ(ω)为过原点的，斜率为-τ的一条直线0,()2212()(1)NhnhNn仅群时延同时成立INIINIIINIVN类型：h(n)偶对称，为奇数类型：h(n)偶对称，为偶数类型：h(n)奇对称，为奇数类型：h(n)奇对称，为偶数7.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeIh(n)偶对称，N为奇数（恒相时延、恒群时延〕此时，由于h(n)序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）：1111121200121()()()()2NNNNjwjwjnwjNnnwjnwnnNHehnehnehneheh(n)为偶对称，N为奇数012N6nh(n)对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到:1111122(1)2001()()(1)2NNNjwjwjnwjNwjnwnnNHehnehNneehe由对称条件1()()hnhNn则H(ejω)表示为：111220111220111220(1)11221()()21()21()12cs2o2NNjjnNNjnNNjnjNjnNNjjjjwjnnnNHehnheNehhnNehheeeeeneeNn令1'2Nnn则上式为1'11221120()211()2(')cos'22()cos()NNnnjjNNjjNNHeehhnneanneH7.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeI由此可以看出其线性相位特性。由于cos(nω)对于ω=0、π、2π都是偶对称，所以幅度函数H(ω)对ω=0、π、2π也是偶对称。其中1()()21()2()2Nanhn0Nanhnn0幅度函数：120H()()cosNnann相位函数：N-1()--20246800.20.40.60.81h(n)0246800.20.40.60.81a(n)0120123frequencyUnit:piMagnitudeMagnitudeResponse012-30-20-100frequencyUnit:piPhasePhaseResponseN=9H(w)7.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeIh(n)偶对称，N为偶数（恒相时延、恒群时延〕由于h(n)序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）：7.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeIIh(n)为偶对称，N为偶数012N7nh(n)对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到:由对称条件1()()hnhNn则H(ejω)表示为：1112200()()()()NnN