浙江省2013年高考数学试题(文科)试卷含答案

绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）——2014.06.04数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2，＋∞)C．[－4，1]D．(－2，1][解析]从数轴可知，S∩T＝(－2，1]．所以选择D.2．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i[解析](2＋i)(3＋i)＝6－1＋i(2＋3)＝5＋5i.所以选择C.3．若α∈，则“α＝0”是“sinαcosα”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若α＝0，则sin0＝0cos0＝1，而sinαcosα，则2sinα－π40，所以α＝0是sinαcosα的充分不必要条件．所以选择A.4．，设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[解析]对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.5．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3[解析]此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－13×12×3×4×4＝108－8＝100(cm3)．所以选择B.6．函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2[解析]f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()A．a0，4a＋b＝0B．a0，4a＋b＝0C．a0，2a＋b＝0D．a0，2a＋b＝0[解析]若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则－b2a＝2，则4a＋b＝0，而f(0)＝f(4)f(1)，故开口向上，所以a0，4a＋b＝0.所以选择A.8．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()[解析]由导函数的图像可知，f′(x)0恒成立，则f(x)在(－1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f(x)为奇函数，再从导函数的图像可知，当x∈(0，1)时，其二阶导数f″(x)0，则f(x)在x∈(0，1)时，其图像是向上凸的，或者y随着x增长速度越来越缓慢，故选择B.9．如图所示，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A．2B．3C．32D．62[解析]设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝3，m＋n＝4，m2＋n2＝（2c）2＝12，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝22，a＝2，则双曲线的离心率e＝ca＝32＝62，选择D.10．设a，b∈，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a，a≤b，b，ab，a∨b＝b，a≤b，a，ab.若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则()A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2[解析]从定义知，a∧b＝min(a，b)，即求a，b中的最小值；a∨b＝max(a，b)，即求a，b中的最大值；假设0a2，0b2，则ab4，与已知ab≥4相矛盾，则假设不成立，故max(a，b)≥2，即a∨b≥2；假设c2，d2，则c＋d4，与已知c＋d≤4相矛盾，则假设不成立，故min(a，b)≤2，即c∧d≤2.故选择C.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知函数f(x)＝x－1.若f(a)＝3，则实数a＝________．[解析]f(a)＝a－1＝3.则a－1＝9，a＝10.12．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．[解析]设选2名都是女同学的事件为A，从6名同学中选2名，共有15种情况，而从3名女生中选2名，有3种情况，所以P(A)＝315＝15.13．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．[解析]圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|5＝5，所以弦长为252－（5）2＝220＝45.14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．[解析]S＝1＋11×2＋12×3＋…＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋…＋14－15＝1＋1－15＝2－15＝95.15．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x≥2，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________．[解析]不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.16．设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝________．[解析]当x＝1时，0≤a＋b≤0，则a＋b＝0，b＝－a，令f(x)＝(x2－1)2－(x4－x3＋ax－a)＝x3－2x2－ax＋a＋1，则f(x)≥0在x≥0时恒成立，f(1)＝1－2－a＋a＋1＝0，则x＝1应为极小值点，f′(x)＝3x2－4x－a，故f′(1)＝0，a＝－1，b＝1，ab＝－1.17．设e1,e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1,e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．[解析]|x||b|＝|x|2|b|2＝x2x2e21＋2xye1·e2＋y2e22＝x2x2＋2xy×32＋y2＝11＋3yx＋yx2＝1yx＋322＋14≤114＝2.三、解答题18．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解析：(1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得：sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得：b2＋c2－bc＝36，又b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.19．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解析：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋212n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝12n2－212n＋110(需写步骤).综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－12n2＋212n，n≤11，12n2－212n＋110，n≥12.20．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求PGGC的值．解析：(1)证明：设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG＝12PA＝32.在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝23，所以OC＝12AC＝3.在直角△OCD中，OD＝CD2－OC2＝2.在直角△OGD中，tan∠OGD＝ODOG＝433.所以DG与平面APC所成的角的正切值为433(3)因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.在直角△PAC中，得PC＝15，所以GC＝AC·OCPC＝2155.从而PG＝3155，所以PGGC＝32.21．已知aR，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．解析：(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.当a1时，单调性如下表格x0(0，1)1(1，a)a(a，2a)2af′(x)＋0－0＋f(x)0单调极大值单调极小值单调4a3200递增3a－1递减a2(3－a)递增比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得：g(a)＝0，1a≤3，a2（3－a），a3.当a－1时，单调性如下表格x0(0，1)1(1，－2a)－2af′(x)－0＋f(x)0单调递减极小值3a－1单调递增－28a3－24a2得g(a)＝3a－1.综上所述，f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值为：g(a)＝3a－1，a－1，0，1a≤3，a2（3－a），a3.22．已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解析：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，则p2＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y消去y，整理得x2－4kx－4＝0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理点N的横坐标xN＝84－x2.所以|MN|＝2|xM－xN|＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－4（x1＋x2）＋16＝82k2＋1|4k－3|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t0时，|MN|＝2225t2＋6t＋122；当t0时，|MN|＝225t＋352＋1625≥852.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|的最小值是852.