保险精算学-趸缴纯保费(2)

第四章人寿保险趸缴纯保费的厘定第三节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定死亡即刻赔付死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。利息强度回顾:利息力与利率的关系回顾:死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系()xx()()ln[()]()()xsxfxsxsxsx0()exp{}exp{}xsxttxsxsxdspds回顾:死亡效力与剩余寿命死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数0()()exp{}xxxsfxsxds()()()1()()()()()()()()txxttxxtsxsxtGtpsxsxtddsxsxtgtGtpdtdtsxsx()gt即剩余寿命的分布函数tqx基本符号——投保年龄的人。——人的极限年龄——保险金给付函数。——贴现函数。——保险给付金在保单生效时的现时值)(xxtbtvtztttvbz1、n年定期寿险定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：岁的人，保额1元n年定期寿险基本函数关系)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定符号：厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(现值随机变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例4.3.1设计算()1,01001000.1xSxxi130:101(2)()tAVarz（）例4.3.1答案055.0092.021.1ln21.1701092.07011.1)()(2092.01.1ln1.17017011.1)(1001)()()()1(2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，保额1元终身寿险基本函数关系)(x,0,01,0tttttttvvtzbvvtbt趸缴纯保费的厘定符号：厘定：xA000()()xttTtttxxttxxtAEzzftdtvpdtepdt现值随机变量的方差方差公式记所以方差等价为22220()()()()()ttttTtVarzEzEzeftdtEz220()txTAeftdt22)()(xxtAAzVar例4.3.2设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算1,060(t)600,Ttf其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xtAVarzz（）的例4.3.2答案0606002260220120602(1)()1160602()()1()6011()12060txTttxxtxAeftdteedtVarzAAedtAee（）例4.3.2答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr()ln=Pr(lnln)()lnln60ln()0.960ln6lnttTvzvtvPtvvftdtvve3、延期终身寿险定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险基本函数关系)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定符号：厘定：xmA001:()()()()mxttTmmtTtTxxmAEzzftdtzftdtzftdtAA现值随机变量的方差方差公式记所以方差等价于2222()()()()()ttttTtmVarzEzEzeftdtEz22()txTmmAeftdt22()()txxmmVarzAA例4.3.3假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求：0.040.06(),0xSxex，t10(1)(2)Var(z)xA例4.3.3答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)()0.04()0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16()()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmSxtfteSxAeedtedteAeedtVarzAA4、n年定期生存保险定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。假定：岁的人，保额1元，n年定期生存保险基本函数关系)(x,0,1,0,0,ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定符号：趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差：1:xnA1:()nnxntnxnxAEzvpep222112::()()()nntnxnxxnxnVarzvpvpAA5、n年定期两全保险定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。假定：岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系)(x,,,,1,0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt趸缴纯保费的厘定符号：厘定记：n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则:xnA1z2z3z312zzz11:::312()()()xnxnxnEzEzEzAAA现值随机变量方差因为所以31212121212()()()(,)()()()()()VarzVarzVarzCovzzVarzVarzEzzEzEz120zz11:312:()()()xnxnVarzVarzVarzAA2222例4.3.4（例4.3.1续）设计算()1,01001000.1xSxxi30:101(2)()tAVarz（）例4.3.4答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092()0.05560(1)1.10.33700.422(2)()0.0185()()()0.0431tttttAVarzAvpAAAVarzvpAVarzVarzVarzAA由例3.1已知：26、延期m年n年定期两全保险定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定：岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险基本函数关系)(x,0,,,m0,,1,ttmnttttmntvtmntmvvtmnzbvvtmntmvtmnbtm趸缴纯保费的厘定符号：厘定:mxnA1:::11::mxnxmxmnmxnmxnAAAAA现值随机变量的方差记：m年延期n年定期寿险现值随机变量为m年延期n年定期生存险现值随机变量为m年延期n年定期两全险现值随机变量为已知则1z2z3z312zzz11:312:()()()mxnmxnVarzVarzVarzAA27、递增终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次（连续递增）保险利益：如被保险人在第一保单年度内死亡，则在死亡时立即给付保险金1元，如被保险人在第二保单年度内死亡，则在死亡时立即给付保险金2元，。。。。。一年递增一次一年递增一次现值随机变量趸缴保费厘定[1]ttztv011()()[1]txttxxtkttxxtkkIAEztvpdtkvpdt将每一个保单年度分为均等的m个时间段，如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元，如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元，。。。。。如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元，如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死亡，则在死亡时立即给付保险金1+2/m元，。。。。。。一年递增m次一年递增m次现值随机变量趸缴保费厘定()0111[1]()()mtxttxxtmksmmttxxtksmksmmtIAEzvpdtmmksvpdtm[1]ttmtzvm一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量趸缴保费厘定ttztv0()()txttxxtIAEztvpdt如被保险人在时刻T时死亡，则在死亡时立即给付保险金T元8、递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别：一年递减一次一年递减m次一年递减无穷次（连续递减）一年递减一次现值随机变量趸缴保费厘定{[]},0,ttntvtnztn1:011()()(1)tttxxtxnknttxxtkkDAEzntvpdtnkvpdt一年递减m次现值随机变量趸缴保费厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()()1nmtttxxtxnmksmnmttxxtksmksmmtDAEznvpdtmsnvpdtm一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量趸缴保费厘定(),0,ttntvtnztn1:0()()()ntttxxtxnDAEzntvpdt死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定）以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则有()()1()1()()()TxKxSxTxKxSxvvv11110()()()TKSsxxxEvEvEviAAvdsA死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的倍。条