浙江省宁波市高中数学教学论文Maple在微积分中的应用

用心爱心专心-1-Maple在微积分中的应用摘要：Maple被称为当今世界上最流行的符号计算软件之一，它具有强大的交互式工程数学计算功能；其丰富的函数包能满足用户在各方面的需求；简单灵活的平面和立体作图技术使得它成为当前最普及的数学教学软件；它在统计学、经济结算方面的程序库被广泛应用于很多领域。本文通过Maple9.5软件分六个部分：1.Maple在极限中的应用；2.Maple在求导中的应用；3.Maple在积分中的应用；4.Maple在级数中的应用；5.Maple在积分变换中的应用；6.Maple中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能对Maple在微积分中应用进行了系统的研究与说明。关键字：Maple；微积分；应用研究一、Maple在极限中的应用1数列的极限例1．设22211112nun，求limnnu。首先可以通过Maple绘制散点图得到这个数列是收敛的，如图1：with(plots);plot(sum('1/k^2','k'=1..n),n=1..1000);（图1数列nu散点图）进一步用maple计算得到该数列的极限为216，其中命令为：limit(sum('1/k^2','k'=1..n),n=infinity);例2．10110,1,,lim2nnnnnxxxxxx设求。这是一种迭代形式的数列，对于这种题目，我们一般有两种解答方法：1）先证明数列为单调，再证明其有上界或下界，从而根据单调有界定理得到数列的极限存在，最后，对数列的迭代式两边求极限；2）通过计算数列的通项公式，直接求极限。在本题中，显然，第一种方法是行不通的，因此，我们尝试用第二种方法来解。用心爱心专心-2-Maple可以通过命令容易的解决此种迭代形式的数列，其中命令为：rsolve({x(n+1)=(x(n)+x(n-1))/2,x(0)=0,x(1)=1},x(n));得到数列的通项公式为221332nnx，这样，就得到了这个数列的极限是23。2、函数的极限在微积分中，有两个非常重要的极限，它们分别是0sinlim1xxx，1lim(1)0xnx。很多函数的极限问题都可以化到这两种函数极限的问题，因此，了解这两个函数的性质是非常重要的。以0sinlim1xxx为例，首先我们可以给出这个函数的图像（图2）。f:=x-sin(x)/x;with(plots);plot(f(x),x=1..100);从这个图中，我们可以看到，函数sin()xfxx，当0x时收敛到1，当x时，收敛到0，在做极限题时，注意观察极限的下标是非常重要的。图2（sin()xfxx的图像）例3.函数()sin()fxxx的图像及相关极限。f:=x-x*sin(x);with(plots);plot(f(x),x=-100..100);从图中我们可以得到0limsin()0xxx而limsin()xxx是不存在的，因为函数在无限远处无限震荡。从而“无穷大与有界函数的乘积是无穷大”的论断是错误的。（图3()sin()fxxx）二、Maple在求导中的应用例4．计算22()sin()dxdxx，523(sin())xyxy用心爱心专心-3-对于单变量、多变量的求导问题，在Maple中可以直接通过简单的命令进行求解，如本题命令：diff(x/sin(x),x$2);从而得到：2232cos()2cos()sin()sin()sin()xxxxxxxdiff(sin(x*y),y$3,x$2);从而得到：232cos()6sin()6cos()xyyxxyyxxyx三、Maple在积分中的应用积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求它的原函数.是以int()来作为积分(integration)指令的,用来求解函数的积分。输入格式如下:1）不定积分：()fxdx命令：int((),)fxx2）定积分：()bafxdx命令：int((),,..)fxxxabMaple可以用来求解单变量积分、重积分，同时，也可快速求解在不定积分和定积分运算中非常重要的两种方法换元积分法、分部积分法问题。除此之外,Maple还可以求数值积分、近似积分、曲线积分和旋转曲面积分等等,此软件包功能强大,操作简便。例5．计算sin()xdx，0,1xyxyedxdyint(sin(x),x);cos()xint(int(exp(x+y),x=-1..1),y=-1..1);(2)22ee例6．（换元积分）用换元函数计算积分22,0axdxasinxat令with(student):changevar(x=a*sin(t),Int(sqrt(a^2-x^2),x),t);222sin()cos()aatatdtvalue(%)assuminga0;22211sin()sin()arcsin(sin())22ataatatsubs(sin(t)=x/a,%);用心爱心专心-4-221arcsin()22xaxxaaaaint(sqrt(a^2-x^2),x)assuminga0;22211arcsin()22xxaxaa例7．(分部积分)计算积分cosxxdxwith(student):intparts(Int(x*cos(x),x),x);sin()sin()xxxdxvalue(%);sin()cos()xxx四、Maple在级数中的应用1）数值级数和函数级数求和我们可以用sum方便地求得级数的和，无论是有限项、无限项、常数项还是函数项级数。相应地，和式的形式函数是sum,求连乘积使用product.例8．求级数21141kk，211nkk的和Sum(1/(4*k^2-1),k=1..infinity)=sum(1/(4*k^2-1),k=1..infinity);从而得到：2111412kkProduct(1/k^2,k=1..n)=product(1/k^2,k=1..n);从而得到：22111(1)nkkn2）幂级数展开对函数()fx在xa处做n次级数展开的命令格式为：((),,)seriesfxxan，如果只写x，表示在0x处展开。n为非负整数，缺省值是6例9．求函数()sin(3*)fxxx的幂级数展开。f:=x*sin(3*x):series(f,x);从而得到：24693()2xxx3）泰勒展开在Maple中，可以用命令taylor方便快捷地得到一个函数或表达式在一点的任意阶Taylor用心爱心专心-5-展开式，如对函数()fx在xa处做n次泰勒展开的命令格式为：((),,)taylorfxxan。例10．求函数()sin(tan())tan(sin())fxxx的泰勒展开式taylor(sin(tan(x))-tan(sin(x)),x=0,10);从而得到：7911129()30756xxx五、Maple在积分变换中的应用无论在数学理论研究还是在数学应用中，积分变换都是一种非常有用的工具。积分变换就是将一个函数通过参变量积分变为另一个函数。常用的积分变换包括拉普拉斯变换（Laplace）,傅里叶变换（Fourier）等。函数f的积分变换的定义如下：()()(,)baTfftKstdt其中K为变换核。具体如下：变量名称定义变换命令逆变换命令拉普拉斯0()stftedt((),,)laplaceftts((),,)invlaplaceftts傅里叶()itftedt((),,)fourierftts((),,)invfourierftts例11．计算Laplace变换0()()stLsftedt及其反变换（其中3()*cos()fttt）。with(inttrans);f(t):=t^3*cos(t):F(s):=laplace(f(t),t,s);从而其Laplace变换为：42246(16)():(1)ssFssinvlaplace(F(s),s,t);从而其Laplace变换的反变换为：3cos()tt例12．计算Fourier变换()()iwtFsftedt及其反变换1()()2istftFed（其中2()1ftt）。fourier(1+t^2,t,w);从而其Fourier变换为：2(()(2,))DiracwDiracw用心爱心专心-6-invfourier(%,w,t);从而其Fourier变换的反变换为：21t六、Maple中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能1）关于微积分的相关计算如极限（菜单选项LimitMethods）、求导(菜单选项DifferentiationMethods)、积分（菜单选项IntegrationMethods）等也可以通过Maple的菜单栏中的工具选项进行。如计算，如计算2111limxxx，我们可以进行如下菜单操作，显示窗口如图4。（图4：2111limxxx的计算窗口）2）关于微积分中相关定理如中值定理、罗尔定理等的应用求解也可以通过Maple的菜单栏中的工具选项进行说明。以拉格朗日中值定理为例：求函数2()6fxxx在区间(2,1)内至少存在一点c,使得'()()()fbfafcba显示窗口如图5，得到存在一点0.5c，此时'()()()fbfafcba，同时，我们也可由图得到拉格朗日中值定理的几何意义：在点(,())cfc处的切线平行于曲线两端点的连线。用心爱心专心-7-（图5）3）同时，关于曲线分析求最大最小值问题（菜单选项CurveAnalysis）、计算曲面的表面积（菜单选项SurfaceofRevolution）等也可通过Maple的菜单栏中的工具选项进行。总的来说，Maple软件在微积分领域中功能强大,操作简便。本文只对其部分简单常用的功能进行了一定的研究与说明。通过系统研究，认为利用Maple来进行辅助教学,不仅形象生动,使学生耳目一新,更重要的是能够提高教学效果,省掉画图和中间计算所需要的大量时间,培养学生用计算机解决数学问题的能力,提高学生学习数学的积极性。从这方面来看，Maple具有比较好的实用性，因此，也就需要我们不断加强研究学习。