浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期中数学文试题

杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（文科）参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式24SRVSh球的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高334RV台体的体积公式其中R表示球的半径)(312211SSSShV锥体的体积公式其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积13VShh表示台体的高其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线3536yx的斜率为A.33B.33C.56D.62.直线cossin4xy与圆224xy的位置关系是A．相切B．相离C．相交D．不能确定3．设(1,2),(3,1)AB，若直线ykx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是A.1(,2)(,)3B.1(,)(2,)3C.1(,2)3D.1(2,)34.若实数xy、满足不等式组2502700,0xyxyxy，则31xy4的最小值是A．12B.13C.14D.255．两条异面直线在同一平面的射影不可能的是A.同一直线B.两条平行线C.两条相交直线D.一点和一条直线6.已知nm,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，给出下列四个命题：①,,,mnmn则；②若//,//,,mnmn则//；③若,//,,mnmn则//；④若,//,//mn，则mn．BPCAD其中正确的命题的序号是A.①③B.②③C.①④D.②④7．如图,在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，//ABCD，ADDC，2PDADDCAB，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为A.155B.105C.105D.1048．直线1:220lxy关于直线2:0lxy对称的直线3l的方程为A.220xyB.220xyC.210xyD.210xy9.直线3kxy与圆4)2()3(22yx相交于M，N两点，若23MN，则k的取值范围是A.3(,][0,)4B.1[,0]3C.1(,][0,)3D.3[,0]410．与原点O及点)4,2(A的距离都是1的直线共有A.4条B.3条C.2条D.1条二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．已知直线l经过点(3,1)P，且与直线41yx平行，则直线l的一般式方程是.12．若直线xya过圆xyxy的圆心，则a的值为.13．在正方体ABCD-1111ABCD中，直线1BC与平面DDBB11所成角的大小为.14.如图，已知可行域为ABC及其内部，若目标函数zkxy当且仅当在点A处取得最大值，则k的取值范围是.15.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是cm3．16．球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是.17.已知实数,xy满足222440xyxy，则2xy的最小值为.杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学（文）答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号12345678910答案二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.11.12.13.14.15.16.17.三、解答题：本大题有4小题,共42分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18．（本小题8分）求过直线20xy与圆2220xyx的交点A、B，且面积最小的圆的方程.19．（本小题10分）已知直线1l和2l在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又直线1l过点)3,3(P.如果点)2,2(Q到2l的距离为1，求2l的方程.20．（本小题12分）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，//ABDC，90DAB，1,2PAADDCAB，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．B(0,b)xOyA(a,0)21．（本小题12分）设圆22(2)(2)4xy的切线l与两坐标轴交于点(,0),(0,),AaBb0ab.（Ⅰ）证明：(4)(4)8ab；（II）求线段AB中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若4,4,ab求△AOB的面积的最小值．杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号12345678910答案ABDCACBADA二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.4110xy12.113.3014.12k15.1616.3π17.55三、解答题：本大题有4小题,共42分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18．（本小题8分）解：联立方程组2220(1)20(2)xyxyx，把（1）代入（2），得21245400,5yyyy，故2112805,045xxyy，则所求圆的直径为22212142()()55RABxxyy.圆心为AB中点42(,)55C,所以，所求面积最小的圆的方程是22424()()555xy另解：设过已知直线与圆的交点的圆系方程为222(2)0xyxxy（1）其圆心的坐标为2(,)2，把它代入直线20xy（2）得222025（3）把（3）代入（1），则所求面积最小的圆的方程是2284055xyxy.19．（本小题10分）解：直线2l的方程为()ykxa，则直线1l的方程为()ykxa则2(2)211kak（1）又因为1(3,3)Pl，则(3)3ka（2）由（2）得33kak，代入（1），得2255112251201kkkk.解得43k，或34.则当43k时，34a；当34k时，1a.所以直线0334:2yxl或0343yx20．（本小题12分）解：（Ⅰ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，∴EM//AB,且EM=12AB.又∵//ABDC，且12DCAB，∴EM//DC，且EM=DC∴四边形DCME为平行四边形,则MC∥DE，又MC平面PAD,DE平面PAD所以MC∥平面PAD（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又22222ACBCABACBC,∴BC⊥平面PAC，又BC平面PBC,所以，平面PAC⊥平面PBC；（Ⅲ）取PC中点N，则MN∥BC由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，则MN⊥平面PAC所以，MCN为直线MC与平面PAC所成角，1315,2222NCPCMCPB，15cos5NCMCNMC21．（本小题12分）解：（Ⅰ）直线l的方程为1byax，即0abaybx.则圆心（2，2）到切线l的距离rd，即22|22|24()80baabababba,(4)(4)8ab.（II）设AB的中点为M（x，y），则2222axaxbbyy，代入(4)(4)8ab，得线段AB中点M的轨迹方程为(2)(2)2(0)xyxy.（Ⅲ）由(4)(4)84()8ababab又4,4,ab12AOBSab2[(4)(4)6]2(2(4)(4)6)4(322).abab（当且仅当422ab时取等号）,所以，△AOB面积的最小值是1282.