机械振动习题解答

©物理系_2015_09《大学物理AII》作业No.01机械振动班级________学号________姓名_________成绩_______一、判断题：（用“T”表示正确和“F”表示错误）1/3/524[F]1．只有受弹性力作用的物体才能做简谐振动。解：如单摆在作小角度摆动的时候也是简谐振动，其回复力为重力的分力。[F]2．简谐振动系统的角频率由振动系统的初始条件决定。解：P5.根据简谐振子角频率公式mk，可知角频率是一个完全由振动系统本身性质决定的常量，与初始条件无关。我们也将角频率称为固有角频率。[F]3．单摆的运动就是简谐振动。解：P14-15单摆小角度的摆动才可看做是简谐振动。[T]4．孤立简谐振动系统的动能与势能反相变化。解：P9孤立的谐振系统机械能守恒，动能势能反相变化。[F]5．两个简谐振动的合成振动一定是简谐振动。解:同向不同频率的简谐振动的合成结果就不一定是简谐振动。总结：1、3、5小题均为简谐振动的定义性判断.简谐运动是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。二、选择题：1.把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为[C](A);(B)23;(C)0;(D)21。解：对于小角度摆动的单摆，可以视为简谐振动，其运动方程为：0costtm，根据题意，t=0时，摆角处于正最大处，m，即：01coscos0000。类似公式：0costAtx2．一个简谐振动系统，如果振子质量和振幅都加倍，振动周期将是原来的[D](A)4倍(B)8倍(C)2倍(D)2倍解：P5公式(12.1.8)mTkmTmkT/2/2,所以选D。3.水平弹簧振子，动能和势能相等的位置在：[C](A)4Ax(B)2Ax(C)2Ax(D)3Ax解：P9对于孤立的谐振系统，机械能守恒，动能势能反相变化。那么动能势能相等时，有：221412122AxkxkAEEEpk，所以选C。4.一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量E变为[D](A)1E/4(B)1E/2(C)21E(D)41E解：法1.原来的弹簧振子的总能量21121kAE，k不变，振动增加为122AA，所以总能量变为124EE.法2.原来的弹簧振子的总能量212112112121AmkAE，振动增加为122AA，质量增加为124mm，k不变，角频率变为1122214mkmk，所以总能量变为1212112121122222242142242121EAmAmAmE5．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为：[C](A)21(B)23(C)(D)0解：法1，先写出两个振动方程，再求合振动初相位法2.P7-8旋转矢量法（注意起点为Y轴方向）两个谐振动x1和x2反相，且212AA，由矢量图可知合振动初相与x1初相一致，即。txo2/AA2x1xo1A2AA三、填空题：1.描述简谐振动的运动方程是)cos(tAx，其中，振幅A由初始条件决定；角频率由振动系统本身性质决定；初相由初始条件决定；2．一弹簧振子做简谐振动，振幅为A，周期为T,其振动方程用余弦函数表示，若初始时刻，1）振子在负的最大位移处，则初相为；2）振子在平衡位置向正方向运动，则初相为2或者23；3）振子在A/2处向负方向运动，则初相为3。解：)cos(tAx用旋转矢量法P8，如图，得出：1）2）3）3.一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的b,f点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-2A和弹性力-kA的状态，对应于曲线的a，e点。解：P3-4公式（12.1.5---12.1.7）由)cos(tAx得0sintAv（V为x对t求一阶导数）02costAa(a为V对t求一阶导数,x对t求二阶导数)位移0x，速度0ddAtxv，对应于曲线上的b、f点；若|x|=A,Aa2，又xa2,所以x=A，对应于曲线上的a、e点。tx0AAabcdef4.一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期s43.3724T，用余弦函数描述时初相位3234或。解：法一：高中振动图像方法,写出振动方程，x=4cos(7/12t+4/3π)或x=4cos(7/12t-2/3π)由T2可求得T法二、旋转矢量法由曲线和旋转矢量图可知2212TT周期s43.3724T初相3234或。5.两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621tx(SI)和)5sin(10222tx(SI)它们的合振动的振幅为(m)1042，初相位为21。解：将x2改写成余弦函数形式：)25cos(102)5sin(102222ttx由矢量图可知，x1和x2反相，合成振动的振幅(m)10410210622221AAA，初相21四、计算题：1．一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示。设弹簧的倔强系数为k,绳与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气的阻力。现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。解：取如图x坐标，平衡位置为坐标原点，向下为正方向。m在平衡位置，弹簧伸长x0,则有xBA42mJkRx0xoxOA2A11A0kxmg……………………(1)现将m从平衡位置向下拉一微小距离x，m和滑轮M受力如图所示。由牛顿定律和转动定律列方程，maTmg1…………………(2)JRTRT21………………(3)Ra………………………(4))(02xxkT…………………(5)联立以上各式，可以解出xxmRJka22，（※）由判据2知（※）式是谐振动方程，所以物体作简谐振动，角频率为222mRJkRmRJk（W类似P12例题5）2．一质点作简谐振动,其振动曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，求：1）振动方程；2）1ts时加速度大小；3）2ts时速度大小。解：1）由图所知：s4m,2.0TA,则22T2）加速度为：22cos201cos202ttAa，将1ts代入得：222m/s493.0201201a3）速度为：22sin10sin0ttAv，将2ts代入：T1T2T1NMgmgm/s314.010v3．一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k=25Nm-1。如果该系统起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求(1)振幅A；(2)动能恰等于势能时的位移；(3)经过平衡位置时物体的速度。解：(1)由2pk21kAEEE得m08.0)(2pkEEkA(2)解：动能等于势能时，有：m0566.02214121212222pkAxAxkAkxEEE另解：由222121mvkx得)(sin22222tAmxm)(cos)](cos1[)(sin22222222tAAtAtAx即222xAxm0566.02Ax(3)过平衡位置时，x=0,此时动能等于总能量2pk21mvEEE1pksm8.0)(2EEmv