李伟平-3层次分析法.

数学建模中的层次分析法李伟平有热心人为你介绍男朋友，现有候选人若干，如何找到你心中的王子？请你建立一个数学模型。分析每人条件（因素）：高、富、帅、…层次分析法（AnalyticHierarchyProcess简称AHP）是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂（Saaty)等人于20世纪70年代初，在为美国国防部研究根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。层次分析法简介层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策层次分析法基本步骤确定权系数设x1,x2,…,xn为对应各因素的决策变量,其线性组合y=w1x1+w2x2+…+wnxn是综合评判函数。w1,w2,…,wn是权重系数，满足：wi0,.11niiw对权重系数的量化过程（1）成对比较从x1,x2,…,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。比较尺度aij当比较两个可能具有不同性质的因素Ci与Cj对于一个上层因素O的影响时，采用什么样的相对尺度aij较好呢？Saaty等人提出1~9尺度:aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9.2468尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:•便于定性到定量的转化：•心理学家认为:进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力，最多大致在7+-2范围，对比较的因素不宜超过9个。•1~9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂的尺度。（2）建立正互反矩阵由xi/xj建立n阶正互反方阵A(3)迭代按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||为Aek-1的n个分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…数列｛ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1a2…an)于是取权重系数wi=ai例1评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性有一名专家，赋值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3于是得到正互反矩阵3131310e3788.0733.001Aee511.41e665.0172.0162.03788.0733.0511.411e661.0184.0155.0,014.3,991.1565.0467.0222eee659.0185.0156.0,018.3,998.1559.0471.0333eee659.0185.0156.0,028.3,994.1561.0473.0444eee由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳•将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。•通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。•将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地71242/11A成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围n个因素要作n(n-1)/2次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了。nnnnnn212221212111先考察完全一致的情况则令,/jiijwwan设想把一块单位重量的大石头O砸成n块小石头C1,…,Cn,如果精确地称出它们的重量为nnnnnn212221212111Tn),,(21这些比较显然是一致的.n块小石头的权重（即在大石头中的重量比）可用向量表示.11niiw,A的各个列向量与w仅相差一个比例因子.wAwnnnnnn212221212111nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵，如•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•A的任一列向量是对应于n的特征向量•A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n.可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵.1nnCI定义一致性指标:CI=0时A为一致阵；CI越大，不一致越严重.比n大的越多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大.因而可以用-n数值的大小来衡量A的不一致程度.SaatyRI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI.定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，通过一致性检验.Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn),,()2()2(1)2(同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3)第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T例3某单位拟从3名中层干部中选人至上层领导,标准:政策水平,工作作风,业务知识,口才,写作,健康.解这里,目标层是选一人;准则层有6个;方案层有3人.各因素对上层领导的重要性为如下判断矩阵A:111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222311A健康,业务,写作,口才,政策,作风健康业务写作口才政策作风max6.352[0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30]TB11/41/241321/31ABCABC11/41/5411/2521131/31/311311由此看出工作作风比其它因素重要.近似方法或其它方法求得,和类似地,求3个干部(A,B,C)对上述每一个标准的相互比较的权系数,得健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风11/353171/51/711171171/71/711791/7151/91/51由此求出各属性的最大特征值max特征值健康业务写作口才政策作风3.023.023.563.053.003.21和30.140.10.320.280.470.770.630.330.220.650.470.170.240.570.460.070.070.05ABBC从而有3320.400.340.26WBB所以应选A担任高层领导.Tn),,()2()2(1)2()2()3()3(组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pmnk),,()3()3(1)3(第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵再谈层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例4国家实力分析例5工作选择待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成