江苏省2002年普通高校“专转本”统一考试高数试卷

江苏省2002年普通高校“专转本”统一考试试卷高等数学注意事项：1．考生务必将密封线内的各项填写清楚。2．考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效。3．本试卷共8页，四大题26小题，满分100分，考试时间120分钟。一．选择题（本大题共十小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1．下列极限中，正确的是（A）A.exxxcot0)tan1(lim;B.11sinlim0xxxC.exxxsec0)cos1(lim;D.ennn1)1(lim2．已知)(xf是可导的函数，则hhfhfh)()(lim0(C)A,)(xf;B,)0(f;C,)0(2f;D,)(2xf3．设)(xf有连续的导函数，且0a，1，则下列命题正确的是(A)Ａ．Caxfadxaxf)(1)(；B．Caxfdxaxf)()(；C．)())((axafdxaxf；D．Cxfdxaxf)()(4．若xeyarctan，则dy（B）A．dxex211;B．dxeexx21;C．dxex211;D．dxeexx215．在空间坐标系下，下列为平面方程的是（D）A．xy2；B．120zyxzyx；C．22x=74y=3z；D．043zx．6．微分方程02yyy的通解是（C）A．xCxCysincos21；B．y=1Cxe+2Cxe2；C．y=xexCC21；D．y=1Cxe+2Cxe7．已知xf在,内是可导函数，则))()((xfxf一定是（B）A．奇函数；B．偶函数；C．非奇非偶函数；D．不能确定奇偶性的函数．8．dxxxI1041，则I的范围是（A）A．220I；B．1I；C．0I；D．122I（由441xxx利用积分不等式104104511dxxdxxx）9．若广义积分dxxp11收敛，则p应满足（B）A．10p；B．1p；C．1p；D．0p．10．若xxeexf11121,则0x是xf的（B）Ａ．可去间断点；B．跳跃间断点；C．无穷间断点；D．连续点．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把正确答案的结果填在划线上）。11．设函数xyy是由方程xyeeyxsin确定，则0xy1．方程两边求关于x导数：yxyxyyeeyxcos解得：xyxexyyeyyxcoscos当0x时，0y,于是0xy00yxy112．函数xexxf的单调增加区间为]1,(．13．11221tandxxxx0．14．设xy满足微分方程1yyex，且10y，则yxe23．15．交换积分次序dxyxfdyeey10,exdyyxfdx1ln0),(．三．计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）16．求极限xxdttttxx020sintanlim．解：xxdttttxx020sintanlim=xxdttttxx020sinlim=)sin(3lim20xxxxx=xxxsin13lim0=23．17．已知tttaytttaxcossinsincos，求4tdxdy．解：)cossinsin(ttttadtdx=tatcos，tatttttadtdysin)sincos(cos．tgtdtdxdtdydxdy，故4tdxdy=118．已知22lnyxxz，求xz，xyz2．解：xz=2222221yxxyxx=221yx．yz=222222yxxyxy=2222yxyxxy，xyz2=222222222)(222yxyxxxyxxxyxy=2222222223222yxyxyxxyxxyyyx．19．设0,110,11xexxxfx，求dxxf201．解：dxxf201=duuf11)(=duuf01)(+duuf10)(=0111dueu+duu1011=01)11(dueeuu+10)1ln(u=01u－01)1ln(ue+10)1ln(u=)1ln(e．20．计算22001221022222xxdyyxdxdyyxdx．解：采用极坐标系计算，积分区域化为，10,40:rD被积函数化为ryx22，面积元素为rdrdd，于是22001221022222xxdyyxdxdyyxdx=4010rrdrd=12．21．求xeyxysincos满足10y的解．解：这是一阶线性非齐次微分方程，其中xxPcos)(,xexQsin)(．于是方程的通解为：))(()()(cdxexQeydxxPdxxP=)()cos(sin)cos(cdxeeedxxxdxx=)(sinsinsincdxeeexxx=)(sincxex由10y得1c，故所求解为：)1(sinxeyx22．求积分dxxxx421arcsin．解：dxxxx421arcsin=2421arcsin21dxxx=)(arcsinarcsin2122xdx=cx22)(arcsin4123．设0,0,11xkxxxfx，且xf在0x点连续。求：（1）k的值；（2）xf．解：（1）由xf在0x点连续，得)0()(lim0fxfx即有ek（2）当0x时：xf=]1[1xx=][11lnxxe=21)1ln(11xxxxxx=211)1ln()1(1xxxxxx；当0x时：)0(f=0)0()(lim0xfxfx=xexxx10)1(lim=1])1[(lim10xxx=])1ln()1(1[lim2110xxxxxxx=20)1ln()1(limxxxxex=xxex21)1ln(1lim0=xxex2)1ln(lim0=2e．四．综合题（本大题三小题，共23分）24．从原点作抛物线422xxxf的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S．求：（1）S的面积；（2）图形S绕x轴旋转一周所得的立体体积．（本题满分7分）解：设过原点的切线方程为kxy，则22xk于是42)22(2xxxx，得2,2xx，切点坐标为1224,2，－和两条切线方程是xy2及xy6．故（1）S=dxxxxdxxxx)242()642(022022=316．（2）V=dxxdxxdxxx202220222226)42(=15512．25．证明：当22x时，211cosxx成立．（本题满分8分）证明：设21cos1)(xxxf，则xxxf2sin)(令xxxf2sin)(=0在区间2,2内解得0x由021)0(f，知21cos1)(xxxf在区间2,2内的最小值是0)0(f故当22x时，21cos1)(xxxf0即211cosxx．26．已知某厂生产x件产品的成本为240120025000xxxC（元），产品产量x与价格P之间的关系为：xxP201440（元）求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润．（本题满分8分）解：（１）平均成本4020025000xxxxCxC令401250002xxC=0,得1000x由经济意义知平均成本有最小值且驻点唯一，故1000x是最小值点，即当生产1000件产品时平均成本最小。（２）)()()(xCxxPxL＝2240120025000201440xxxx＝250002404032xx令240203)(xxL＝０，得1600x由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故1600x是最大值点．即当企业生产1600件产品时，可获最大利润．最大利润是)(167000)1600(元L．