数字通信7

Chapter4AWGN信道的最佳接收机研究噪声对第3章的调制系统可靠性的影响研究AWGN信道最佳接收机的设计和性能特征24.2波形与矢量AWGN信道3波形与矢量AWGN信道Sm(t)n(t)r(t)=sm(t)+n(t)r(t)波形与矢量AWGN信道施密特正交化标准正交基{j(t)}信号的矢量表达式{Sm，1≤m≤M}n(t)不能用基j(t)全部展开，将其分解为两部分：1()()Nmmjjjststn1(t)：噪声中以j(t)展开的部分：n2(t)：噪声中不能以j(t)表示的部分：n(t)n(t)sm(t)11()()Njjjntnt21()()()ntntnt2112211()()()()()()()()NNmjjjjjjNNmjjjjjjjrtstntntsntntrtntjmjjrsn其中：ˆmm4波形与矢量AWGN信道()()()[()]()0jjjEnEnttEnttdt0120Nijij()[()()]()()ijijEnnEntntdtd均值：协方差：{nj}是零均值，方差的不相关的高斯随机变量！2/02Nn先研究nj的性质：再研究n2的性质：21()()()ntntntnj是联合高斯随机变量→n1(t)是高斯过程→n2(t)是也是高斯过程；21()()()Njjjrtrtntjmjjrsn()()jjnnttdt其中：n2(t)与{rj}是不相关的。11()()Njjjntnt21()()()ntntnt5考察：1()()NiijiEntntn000011()()()2211()()022jjjjNtdNtNtNt2[()]jEntr10[()()]()[]()TNjijiiEntndEnnt2[()]jEntnjmjjrsn0()()Tjjnnd均值为0结论：n2(t)不包含与检测有关的任何信息，可以忽略而不影响检测器的最佳性。22[()][()]mjjEntsEntn加性高斯白噪声信道的最佳接收机21()()()NiiintntntAWGN波形信道N维矢量信道mrsn()()()mrtstnt等效于6矢量AWGN信道的最佳接收机7加性高斯白噪声信道的最佳接收机任务:根据对r(t)在信号间隔时间上的观测，设计一个接收机，使错误概率最小——最佳接收机.],,[21Nrrrr信号解调器检测器将接收波形变换成n维矢量根据矢量r，在M个可能波形中判定哪一个波形被发送相关解调器；匹配滤波器r(t)输出判决接收机分解：接收机Sm(t)n(t)r(t)=sm(t)+n(t)r(t)接收机ˆmmAWGN信道接收机对接收信号r(t)进行观测，作出判决输出ˆePPmm最佳判决：导致最小错误概率的判决准则：ˆm81()()Nkkkrtrt0()()Tmkmkssttdt1.相关接收机标准正交基函数：{n(t)}互相关器计算r(t)在N个基函数{n(t)}上的投影kmkknsr00()()[()()]()TTkmkrttdtstnttdt将接收到的信号加噪声变换成N维矢量，即将r(t)展开成一系列线性加权的标准正交基函数之和0()()Tkknnttdt实现：积分器输出：t=T抽样：(k=1,2,…N)加性高斯白噪声信道的最佳接收机1()t()Nt2()t9随机变量r=[r1,r2,…rN]的联合条件PDF:NkmkkmsrPsrP1)|()|(mkkmkksnsErE][][m=1,2,…M02221Nnr在发送第m个信号的条件下，相关器输出{rk}是统计独立的高斯随机变量！{rk}的均值：方差：020)(exp1)|(NsrNsrPmkkmkkNkmkkNmNsrNsrP1022/0)(exp)(1)|(加性高斯白噪声信道的最佳接收机统计独立高斯分布10()()(0)khtTttT2.匹配滤波器接收机t=T抽样：滤波器冲激响应:00()()()()()()()kkTkTkytrthtrhtdrTtd用一组N个线性滤波器替代N个相关器来产生{rk}滤波器输出：0()()()TkkkyTrdr在t=T时刻滤波器输出样值与由N个相关器得到的一组{rk}完全相同。加性高斯白噪声信道的最佳接收机k=1,2,……N1()Tt()NTt2()Tt11y(t)本质上是s(t)的时间自相关函数，是t的偶函数，在t=T时达到峰值。0≤t≤TTdtTssty0)()()(滤波器的响应：h(t)=s(T-t)y(t)s(t)加性高斯白噪声信道的最佳接收机原因的解释：用N个匹配滤波器匹配基函数{k(t)}，产生观测向量{rk}.匹配滤波器解调器1()Tt()NTt2()Tt匹配滤波器：12()()htsTt匹配滤波器的性质冲激响应：h(t)=s(T-t)y(t)s(t)+n(t)在抽样时刻t=T，匹配滤波器的输出信噪比最大！加性高斯白噪声信道的最佳接收机0≤t≤T0/2NSNRoTdtts02)(其中：噪声功率谱：N0/2匹配滤波器的输出信噪比决定于信号波形s(t)的能量，而与s(t)的细节特征无关！13)()(tTsth匹配滤波器的频域解释冲激响应：h(t)=s(T-t)y(t)s(t)+n(t)加性高斯白噪声信道的最佳接收机0≤t≤TTftjdtetTsthFfH02)()]([)(fTjTfjedes202])([fTjefSfSfHfY22)()()()(fTjefS2)(匹配滤波器输出：（信号部分）dfeefSdfefYtyftjfTjftj2222)()()(抽样时刻t=T：TdttsdffSTy022)()()(匹配滤波器输出信号功率：22)(TyPs相位因子，表示抽样延迟T14匹配滤波器的频域解释h(t)=s(T-t)y(t)s(t)+n(t)加性高斯白噪声信道的最佳接收机0≤t≤T02021)()(NfHf2002/2sonPSNRPNN匹配滤波器输出：（噪声的PSD）dffHNdffPn200)(21)(噪声功率：dffSN20)(21021Nt=T输出信噪比：结论与时域分析得到的一致！fTjefSfH2)()(15例：加性高斯白噪声信道的最佳接收机12/0/2()0TtTtothers构成M=4双正交信号的两个正交信号如图。噪声均值为0，方差N0/2，求：解：（1）该信号集的基函数；（2）匹配滤波器解调器的冲激响应；（3）当发送信号为s1(t)时匹配滤波器的输出波形。（1）维数N=2，两个基函数：22//2()0TTtTtothers（2）两个匹配滤波器的冲激响应：112//2()()0TTtThtTtothers222/0/2()()0TtThtTtothers16例：加性高斯白噪声信道的最佳接收机构成M=4双正交信号的两个正交信号如图。噪声均值为0，方差N0/2，求：解：（1）该信号集的基函数；（2）匹配滤波器解调器的冲激响应；（3）当发送信号为s1(t)时匹配滤波器的输出波形。11()nnyT（3）发送s1(t)时，匹配滤波器的输出波形如图c，200()2/2oSNRNNt=T时抽样：21()/2syTAT0()()()Tknkytnttdt2()0syT1212(,)(,)rrrnn两个匹配滤波器输出形成的接收向量：其中，噪声分量：22()nnyT第一个匹配滤波器的SNR：17MmmmsPsrPrP1)()|()(任务：在观测向量r=[r1,r2,…rN]的基础上，实现最佳判决。目标：使正确判决的概率最大。最佳检测器定义：后验概率)()()|()|(rPspsrprspmmmP(发送信号sm|r)m=1,2,……M其中：——给定sm条件下观测向量的条件PDF.)|(msrP)(msP——第m个发送信号的先验概率)(rP加性高斯白噪声信道的最佳接收机(在观测向量r的基础上，推断发送信号sm的概率)最大后验概率准则——选择后验概率集{P(sm|r)}中最大值的信号Bayes公式18MsPm/1)(当M个信号先验等概时)()()|()|(rPspsrprspmmm)|(rspm)|(msrp最大最大等价于似然函数加性高斯白噪声信道的最佳接收机先验概率P(sm)完全相等时：结论：最大后验概率MAP准则最大似然ML准则等同于最大似然准则19似然函数)|(msrpNkmkkNmNsrNsrp1022/0)(exp)(1)|(在AWGN信道情况下NkmkkmsrNNNsrp1200)(1)ln(21)|(lnNkmkksr12)()|(lnmsrp最大等价于最小欧氏距离(距离度量)加性高斯白噪声信道的最佳接收机对于AWGN信道：结论：最小距离D(r,sm)检测最大似然ML准则选择在距离上最接近于接收信号向量r的信号sm.简化为20距离度量：)2,1(22),(2212112MmssrrssrrsrDmmNnmnNnmnnNnnm最小等价于最大22),(mmmssrsrD),(msrD),(),(mmsrDsrC只需考虑：距离度量相关度量加性高斯白噪声信道的最佳接收机对所有距离都相同计算中可以忽略信号的能量定义：相关度量mms222),(mmmssrsrC如果信号具有相同的能量，计算中可以忽略该项21相关度量的检测TmmmdttstrsrC0)()(2),(m=1，2……M加性高斯白噪声信道的最佳接收机等效于接收信号通过一组M个匹配于可能发送信号{sm}的滤波器，并在符号间隔终止时刻t=T抽样。最佳接收机的另一种实现形式：计算M个距离D(r,sm)或D’(r,sm)，选择最小者计算M个相关度量C(r,sm)，选择最大者最大ML检测器等效于结论：22mrD域Dm称为消息域m的判决域MAP和ML检测器将N维空间RN划分成M个域：D1，D2…DM:(|)(|)NmDrRPmrPmr|11(|)MMemmmmemmmpPPrDssentPPDmr=[r1，r2…rN]sm加性高斯白噪声信道的最佳接收机判决域如果：ˆ()mgrm则检测器的判决为m差错概率例：MAP检测器：最佳判决域Dm将导致最小的差错概率。当发送Sm而接收r不在Dm时，发生差错：23其中：表示消息或符号传输时发生差错的概率，即符号差错率比特差错率Pb：|11(|)(|)cmmMemmmmmMDDmmpprsdrprsdr加性高斯白噪声信道的最佳接收机11(|)mMemmmmMDmmPPprsdr单个比特传输时的差错概率一般与不同的比特序列如何映射成信号点等因素有关24)()(1tgts1.二进制双极性信号传输的最佳检测二进制PAM信号波形)()(2tgts双极性信号一维向量表示bts)(1bts)(2信号点接收信号nnsrb1(,)2mmCrsrs假设两信号等概，发送信号为s1(t)最大相关度量判决规则：)(1ts0r)(2ts0r判决为0bbn：加性高斯白噪声均值为0，方差2/02Nn