数学九下内容梳理6单元

6.4探索三角形相似的条件知识点1相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。题型1：1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．试说明△ADE∽△EFC．2.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为()A．1B．2C．3D．4答案：C知识点2相似三角形的判定方法1.对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。3.两角分别相等的两个三角形相似。4.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。5.三边成比例的两个三角形相似。题型1：1．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，则△_______∽△_______，若AC＝2，AD＝1，则DB＝_______．答案：ACDABC2.如图，P是△ABC中边AC上的一点，连接BP，则下列条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是()A．ABACAPABB．ACBCABBPC．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC答案：B3.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是__________________________________________．答案：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或ADACACAB题型2：1.下列判断：①顶角相等的两个等腰三角形相似；②有一个角相等的两个等腰三角形相似；③直角三角形都相似；④若一个三角形的两边长分别为2、6，夹角为32°，另一个三角形的两边长分别为3、9，夹角为32°，则这两个三角形相似．其中判断正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B题型3：1.如图，在△ABC中，AB＝8cm．BC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm／s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后，△PBQ与△ABC相似？答案：2秒或45秒2.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？答案：8.4cm或12cm或2cm3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C题型4：1.如图，ABBCACADDEAE．试说明∠BAD＝∠CAE．题型5：1.如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于G．试说明13GEGDCEAD题型6：1.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1B．2C．3D．4答案：B2.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．答案：(1)CD2=AC·DB(2)120°题型7：1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点M，则图中与△ABM相似的三角形有____________________．答案：△FAM，△FBA，△EAD2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为()A．32B．76C．256D．2答案：B3.如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，试说明：(1)△ABF∽△ACE．(2)△AEF∽△ACB．题型8：1..如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．(1)CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？(2)连接EF，交CD于点O，线段OC、OF、OE、OD成比例吗？题型91.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,BE交AD于点F,AB=AD.(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由。(2)AF与DF相等吗？为什么？综合题1..如图，在ABCD中，E为BC边上一点，连接AE、DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．试说明△ADF∽△DEC．2.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．答案：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．6.2黄金分割知识点1黄金分割的定义：点B把线段AC分成两部分，如果ACABABBC,那么称线段AC被点B黄金分割，点B为黄金分割点，AB与AC的比称为黄金比，比值为215，近似值为0.618。题型：1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm答案：A2..已知P为线段AB的黄金分割点，且APPB，则()A．AP2＝AB·PBB．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·ABD．AP2＋BP2＝AB2答案：C3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，APBP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1与S2的关系是()A．S1S2B．S1S2C．S1＝S2D．S1≥S2答案：C4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．答案：点E是线段AB的黄金分割点6.1图上距离与实际距离知识点1比例线段和比例中项的意义：如果四条线段a,b,c,d满足a/b=c/d,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中项。题型：1.在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为()A．320cmB．320mC．2000cmD．2000m答案：D知识点2比例的性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc;如果ad=bc，且abcd≠0，那么a/b=c/d;如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d。题型：1.如图，32ADAEBDEC，试求ABBD和ECAC的值．答案：52252.已知2x＝3y＝4z，则x：y：z是()A．2：3：4B．4：3：2C．7：6：5D．6：4：3答案：D3.已知bcacabkabc，则k的值是()A．－1B．2C．－1或2D．无法确定答案：C4.如图，在△ABC中，ADAEDBEC，AB＝12，AE＝6，EC＝4．(1)求AD的长．(2)试说明DBECABAC成立．答案：(1)7.2(2)略6.5相似三角形的性质知识点1.相似三角形周长的比等于相似比2.相似多边形周长的比等于相似比3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.相似多边形面积的比等于相似比的平方5.相似三角形对应线段的比等于相似比题型11.两个相似三角形的周长比是9：16，则这两个三角形的相似比是()A．9：16B．3：4C．9：4D．3：16答案：A2.已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为()A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1答案：B3.如图，在ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且25AEEC，则△AEF的面积四边形BCEF的面积_______．答案:4314.如图，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积为()A．6B．8C．10D．12答案：B5.如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，那么较大三角形的周长为_______cm．答案：256.如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、AD边上，矩形ABCD与矩形ECDF相似，且矩形ABCD的面积是矩形ECDF面积的3倍，AB＝4，求矩形ABCD的面积．答案：1637.如图，△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm，则EH的长为_______．答案：3.2cm8.如果一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，另一个与其相似的直角三角形的斜边长为20cm，求另一个直角三角形斜边上的高．答案：1200169cm9.两个三角形相似，一组对应边长分别为3cm和2cm，若它们对应的两条角平分线的长度之和为15cm，则这两条角平分线的长分别为______________．答案：9cm和6cm题型21.如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的_______．答案：312.如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的49，若AB＝2，求△ABC移动的距离BE．答案：233.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点E，S△ADE：S△ADC＝1：3，那么S△ADE：S△CBE＝_______答案：1:44.如图，M是□ABCD的AB边的中点，CM与BD相交于点E，连接DM．设□ABCD的面积为1，求图中阴影部分的面积．答案：13题型31.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝12cm，高AD＝8cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形材料的边长是多少？答案：4.8cm综合题：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．答案：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为，∴△MCD面积为2.5，∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10．6.6图形的位似知识点1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2.位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。3.位似多边形的对应边平行或共线。4.两个位似多边形一定相似。题型1：1.下列关于位似图形的