数学分析总习题课课件

一、可分离变量方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的解.分离变量法例1求解微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xCey典型例题)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当二、线性方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.()(),Cxyx新未知函数原未知函数作变换()()PxdxyCxe()()()()[()],PxdxPxdxyCxeCxPxe代入原方程得和将yy()()(),PxdxCxQxedxC()()(),PxdxCxeQx积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解.sin1的通解求方程xxyxy110lnlnlnyyxdydxyxdydxyxyxCCyx先解对应的齐次方程（分离变量）解例2()()sin()coscosCxyxCxxCxxCxCyx再解非齐次方程（常数变易法）令非齐次的解为代入原方程得故解为伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.三、伯努利方程时，当1,0n时，当1,0n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,1nyz令，则dxdyyndxdzn)1(),()(1xQyxPdxdyynn),()1()()1(xQnzxPndxdz求出通解后，将代入即得nyz1，得两端除以ny代入上式.))1)((()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn例4.求方程的通解.令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:解:两边同除以得2,y21d1lndzaxyxyx)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1.定义四、齐次方程,0)(时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uuf使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)(h,k为待五、可化为齐次方程的方程)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程)0(212cc)0(b例5.求解解:04kh令,5,1YyXxYXYXXYdd得再令Y＝Xu,得令06kh5,1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:15arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:六、()()nyfx令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程将二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程．例1求的通解.xxycossin解逐次积分得1sincosCxxy21cossinCxCxxy322121sincosCxCxCxxy这就是所求的通解．七、不显含未知函数的方程形如),(yxfy的方程的一个特点是不显含未知函数y.若作变换py则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程),(ddpxfxp若上式可解,设通解为,则有),(1Cxp),(1Cxdxdy积分便得通解解令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为八、不显含自变量的方程形如),(yyfy的方程的一个特点是不显含自变量x．可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入方程有如果此微分方程是可解的，设其通解为分离变量后再积分，便得方程的通解解此方程不显含自变量x,令代入原方程得从而前者对应解后者对应方程积分得即再分离变量后积分得因此原方程的解为CyCypxy1dd九、二阶常系数齐次方程求解),(0为常数qpyqypy20,rprq特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0qyypy通解结构,yYy常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点：如何求特解？方法：待定系数法.十、二阶常系数非齐次线性微分方程,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k().xmypyqyyPxe.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxeCeCY是单根，2,)(2xeBAxxy设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例1],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk,10是单根不是根iik.sin4的通解求方程xyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY210r对应齐次特征方程为特征解为r=i,是单根i*(cossin)yxAxBx故代入上式所求非齐方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy例第九章一、多元函数求极限的方法•（1）连续函数极限值等于这点的函数值；•（2）转化为一元函数，利用一元函数求极限的方法：•①有理化，化不定式为定式•②变量代换•③有界变量与无穷小的性质•④利用夹逼准则•⑤利用等价无穷小代换•⑥利用重要极限二、判断二重极限不在的方法•（1）找一条特殊路径使其极限不存在或找两条不同路径使其极限不相等；•（2）两个累次极限不相等。定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为三、偏导数的定义及其计算法同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213可偏导未必连续连续未必可偏导4、偏导数的几何意义Ozyxx0y0P0(,)zfxy曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线00(,)(,)zfxyzfxyyy(平面y=y0上的曲线)fx(x0,y0)是该曲线在P0处的切线关于x轴的斜率.即00(,)tanxfxy),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.四、高阶偏导数五、全微分().zfxyzzdzdxdyxy，全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu叠加原理也适用于二元以上函数的情况．例1计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.222dyedxedz所求全微分多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导六、多元复合函数求导1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;122.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(duvxzy链式法则如图示yzuzyuvz.yv例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeu1cossinvexveuu).cossin(vvxeu利用全