数学分析考试课件12

第一章、复数与复变函数第二节复平面1、平面点集的几个概念2、区域与若当曲线第二讲一.平面点集的几个基本概念:①z0的ρ-邻域：以z0圆心，ρ为半径的ρ-圆盘Nρ(z0)定义为：②点z0的去心ρ邻域Nρ(z0)-{z0}定义为：0()NzNρ(z0)yxoρz0③z0的ρ-闭邻域定义为：),0(,2RCz1.邻域：设Czzzz,0Czzzz,0Czzzz,002.聚点、孤立点、内点、边界点:中有无穷个点，则称a为E的聚点或极限点；②孤立点：若a属于E而不是聚点，则称a为E的孤立点；③外点：若a既不属于E也不是E的聚点则称a为E的外点；则称a为E的内点；0()NaE若存在使得中既有属于E的点又有不属于E的点，则称a为的E边界点。0,()NaE若对EaNaE)(,0若对设,,CC①聚点：④内点：⑤边界点：3.开集、闭集、有界集:;EE记为的聚点全体所成的集合集合；为内点全体所成的集合记0E①导集：.E记为边界点全体所成的集合②内部：③边界：④开集：所有点为内点的集合；0EEEE⑤闭集：E包含了它的所有聚点；⑥E的闭包：EE.E记为注：Ⅰ、没有聚点的集合是闭集；Ⅱ、任何集合的闭包一定是闭集；则称E是有界集，即对任意的有，⑧无界集：否则称E是无界集；⑨紧集：复平面上的有界闭集称为紧集。(0)rENzE||zr⑦有界集：如果存在r0，使得4.点与集合关系图示注意：孤立点一定属于E，且是边界点。集合E＝开圆环并上81个离散点，如下图：这些离散点是孤立点也是边界点边界点内点外点5.聚点的等价定义•a为E的聚点或极限点；•a的任何领域含有E的无穷多个点；•a的任何领域含有E中的异于a的点；•a的任何领域含有E的两个点；•存在E中点列{zn}使得对任意的ε0,存在正整数N=N(ε),当nN(ε),有|zn-a|ε.6.区域、曲线:复平面C上的集合D，如果满足：（1）D是开集；（2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。称为闭域，注意区域总是开的，不含边界。结合前面的定义，可以定义有界区域、无界区域。DDD区域baba折线上的所有点完全属于D闭区域7.区域的例子:例1、圆盘Nρ(a)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合{z||z-a|=r}是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘Nρ(a)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界闭集，复平面也是无界开集。例4、对于去心圆盘Nρ(a)-{a},圆心a是E的边界点，它是E边界的孤立点，是集合E的聚点。E8.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数∞来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.9.扩充复平面上的几个概念①无穷远点的邻域:1(){|}Nzz②无穷远点的去心邻域:1(){|}Nzz,复平面以为唯一界点扩充复平面以为内点注1：注2类似地，我们可以定义聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化。10.扩充复平面性质:在扩充复平面上，不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。注意：加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。11.连通性:上述区域概念中的性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。D=A∪B不是区域是开集开圆盘B开圆盘ALMD=A∪B不是区域是闭集AB如图：A表示带边界的圆盘，B表示直线段二.曲线、若当曲线：设复数方程如果x(t)和y(t)都是闭区间[α,β]上连续函数，则称其所决定的点集为z-平面上一条连续曲线，记为C，z(α)，z(β)分别称为曲线C起点和终点。如果对[α,β]上任意不同两点t及s，但不同时是C的端点，我们有:()()(),()zztxtiytt即是一条除端点外不自交的连续曲线，称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(α)=z(β)，则C称为一条简单连续闭)()(sztz注：无重点——若当曲线若当闭曲线简单闭曲线z()=z()z()z()Hz()z()5个重点非若当曲线若当曲线简单曲线曲线，或若尔当闭曲线。例102.itzet曲线是简单闭曲线解cossin,itzetitcos,sin[0,2]tt在上连续1212,[0,2],tttt时12,ititee若122,(0,1,2,)ttkk则12,[0,2],tt由12,02,tt只能取与itze故无重点1.若尔当定理:定理1.1（若尔当定理）：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。内区域有界简单闭区域边界曲线的定向：右手螺旋系定正向。2.曲线长度:定义1.8设连接弧AB的参数方程为(),()zztt{}nt任取实数列0121,(1.17)nnttttt并且考虑弧AB上对应的点列(),1,2,,jjzztjn,nnQQ将它们用一折线连接起来的长度11()()nnjjjIztzt(1.17),,.sup.nnIABLIAB如果对于所有数列有上界则弧称为可求长的上确界称为弧的长度3.光滑曲线:光滑曲线：如果x(t)和y(t)都在闭区间[α,β]上连续，且有连续的导函数，在[α,β]上，其导函数x’(t)、y’(t)恒不全为零，则称此曲线为一条光滑曲线；如果还有z(α)=z(β)，x’(α)=x’(β)，y’(α)=y’(β)，则称其为光滑闭曲线。类似地，可以定义分段光滑曲线。设复数方程()()(),()zztxtiytt4.单连通区域:设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;否则称D是多连通区域。例2.集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：}0)1()1(|{ziziz0)1()1(zizi0yx即，事实上，0)(2)()1()1(yxzzizzzizi例3.集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：}3Re2|{zz2Rez3Rezyx032例4.集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：}3)arg(2|{izz2)arg(iz3)arg(iz例5.集合:为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆：}3||2|{izz2||iz3||iz满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?例60arg,4zizi,时当iyxziziz,)1(2)1(1222222yxxiyxyx4arg0知由iziz0,)1(12222yxyx0,)1(222yxx2222222(1)tan1,14(1)xxyxyxy,0)1(22yx因为,12,01,022222yxxyxx于是.2)1(,1,02222yxyxx22(1)2,xy表示在圆的外部且属于左半平面的点集单连通域.2-11(x+1)2+y22x2+y21xy5.在扩充复平面上单连通区域:,DDDD设为扩充复平面上区域,若在内无论怎样画简单闭曲线,其内部或外部(包含无穷远点)仍含于则称为单连通区域.解例7{|2}CCzz分别在及上研究集是否为单连通的{|2}Czz在上集不是单连通;{|2}Czz在上集是单连通.注考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上还是扩充复平面上c1简单闭曲线l1的外部含在D内；简单闭曲线l2的内部含在D内。区域D圆周C1的外部简单闭曲线l2简单闭曲线l1例8.在扩充复平面上，集合为单连通的无界区域，其边界分别为}||2|{zz而集合}2|{|z为多连通的无界区域，其边界分别为：}{}2|{|z}||2|{zz作业：•P42习题(一)•6(2)(7)10(1)(3)