数学定义域和值域

函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3．值域:（先考虑其定义域）实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出；2.分离常数法：可将其分离出一个常数；3.观察法：利用函数的图象的最高点和最低点，观察求得函数的值域；4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.例题详见备课本5.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。∵0ex∴01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例3.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[正确用判别式法求值域“着重点”辨析用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析着重点1对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论例1求函数322122xxxxy的值域。错解原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（*）∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得21103y。故所求函数的值域是]21,103[分析把21y代入方程（*）显然无解，因此21y不在函数的值域内。事实上，21y时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。正解原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（*）（1）当21y时，方程（*）无解；（2）当21y时，∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得21103y。由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[着重点2将原函数转化为方程时应等价变形例2求函数1xxy的值域。（把题目中的x+1改成减）错解移项平方得：011222yxyx，由014)]12([22yy解得43y，则原函数的值域是,43.分析由于1xxy平方得011222yxyx，这种变形不是等价变形，实际上扩大了x的取值范围，如果从原函数定义域1x，那么11xxy，显然,43y是错误的。正解令1xt，则t0，得12tx，4321122ttty，又t0，143210122tty，故原函数的值域为,1y着重点3力求先化简，不盲目用判别式法当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式例3求函数1222xxxy的值域错解1222xxxy)1(x----------------------①222xxyyx，即0212yxxy---------②当01y，即1y时，由②得1x（舍去），1y；当01y即1y时，02141yyx得0322y,Ry。综上可述，原函数的值域为{y|1y且Ry}。分析事实上，当23y，即1222xxx=23时，解得1x，而当1x时原函数没有意义，故23y。错误的原因在于，当1x时，212yxxy的值为零，所以1x是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数1222xxxy不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。正解原函数可化为y=)1)(1()1)(2(xxxx=)1()2(xx)1(x，即111xy)1(x,11x0，1y且23y故原函数的值域为{y|1y且23y}。