数学实验之8pi的近似计算

数学实验之八——的近似计算在本次试验中，我们将追溯关于圆周率的计算历程。通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求。实验目的主页上一页下一页主要内容四、利用级数计算二、韦达(VieTa)公式三、数值积分方法一、割圆术六、拉马努金(Ramanujan)公式五、蒙特卡罗(MonteCarlo)法主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25实验指导π是使人们最经常使用的数学常数。人们对π的研究已经持续了2500多年。在今天，这种探索还在继续……主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25世界上数学家们一致公认：“历史上一个国家计算圆周率的准确度，可以作为衡量这个国家当时数学水平的一个标志。”实验指导主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25π值——算法美的追求π作为圆周率的符号，是由著名数学家欧勒于公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比3大一些。公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了223/71π22/7。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25“割圆术”中学问多我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意思为π≈sqrt(10)。魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正192边形，计算周长与值径之比，得3.141024π3.142704实际应用时取3.14，或分数值157/50。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25“割圆术”中学问多他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的“刘徽不等式”。设圆内接正n边形的边长为an，圆内接正n边形的面积为Sn。根据勾股定理，边长有如下递推公式：22.62.6421nnaa主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25“割之弥细，失之弥少，割之又割，则与圆合体而无所失矣。”面积与边长有如下关系：26)1(642nnaS圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：nnnSSSS222主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25刘徽不等式借助于计算机来完成刘徽的工作：a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;fori=2:6a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));b(i)=3*2^(i-2)*a(i);c(i)=2*b(i)-b(i-1);endn=[3,6,12,24,48,96];size(b)result=[n;a;b]主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25刘徽不等式result‘＝ans=3.00001.73212.598106.00001.00003.00003.401912.00000.51763.10583.211724.00000.26113.13263.159448.00000.13083.13943.146196.00000.06543.14103.1427主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25割圆术的意义刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于计算出了Pi的近似值，而且还在于提供了一种研究数学的方法。这种方法相当于今天的“求积分”，后者经16世纪英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称做“中国数学史上的牛顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽术”。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25韦达（VieTa）公式1593年，韦达首次给出了计算Pi的精确表达式：2222222222韦达公式看起来有些神秘，其实它的导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25韦达（VieTa）公式1、从sint开始)8sin()8cos()4cos()2cos(8)4sin()4cos()2cos(4)2sin()2cos(2sintttttttttt主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25韦达（VieTa）公式所以，对任意N，总有）＝得到取）＝有令11112cos(2,22cos(sin,N)2cos()2sin(2sinnnnnnNnNNttttttttt主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25韦达（VieTa）公式2、从cos(pi/4)开始2222122214cos)8cos(22)4cos(主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25韦达（VieTa）公式3、使用VieTa公式计算Pi的近似值思考：如何利用韦达公式构造出一种迭代算法？主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25数值积分法计算Pi定积分10214dxx计算出这个积分的数值，也就得到了Pi的值。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25数值积分法计算Pi1、梯形公式1n0i1iii2)f(x)f(xn1S起来就得到将所有这所有这些梯形。n,0,1,ii/n,x等分，即n将积积分区主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25数值积分法计算Pi2、辛普森（Simpson）公式]42)[(61)4(1)(121110211niiniiniiiiiiyyyynSyyynSxfy令主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi1、莱布尼茨级数（1674年发现）012)1(4kkk主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi1844年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了Pi的前200位小数。使用误差估计式12112)1(4)(0nknrnkk计算一下要精确到Pi的200位小数需要取级数的多少项？主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi2、欧拉的两个级数（1748年发现）022122)12(1816kkkk这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实用价值不大。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi3、基于arctanx的级数对泰勒级数001212)1(4，可得1取12)1(arctankkkkkkxkxx＝时＝即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速度极慢，必须考虑加速算法。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi观察级数可知，x的值越接近于0，级数收敛越快。由此可以考虑令11191202tan12tan24tan12512tan1tan22tan51arctan,51tan222xxαx主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi因此，β＝4α－pi/4非常接近0。120120239112)1(45112)1(162391arctan451arctan1641623914tan114tantankkkkkkkk主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25利用级数计算Pi加速效果非常明显！主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25蒙特卡罗（MonteCarlo）法单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法，即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近似值。具体方法如下：在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为S1＝Pi/4。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25蒙特卡罗（MonteCarlo）法在这个正方形内随机地投入n个点，设其中有m个点落在单位扇形内。则nmSSnm4,41随机投点如何来实现？主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25蒲丰（Buffon）掷针实验另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随机掷针实验。其步骤如下：（1）取一张白纸，在上面画出许多间距为d的等距平行线。（2）取一根长度为l(ld)的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n次。观察针和直线相交的次数m。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25蒲丰（Buffon）掷针实验（3）由几何概率知道针和直线相交的概率为p=2L/πd，取m/n为p的近似值，则mdnl2特别取针的长度L为d/2时，π=n/m。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25蒲丰（Buffon）掷针实验（3）由几何概率知道针和直线相交的概率为p=2L/πd，取m/n为p的近似值，则mdnl2特别取针的长度L为d/2时，π=n/m。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25拉马努金（Ramanujan)公式目前，计算pi的一个极其有效的公式为044396263901103)!()!4(9801221nnnnn这个级数收敛得非常快，级数每增加一项，可提高大约8位小数的精度。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25拉马努金（Ramanujan)公式1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25拉马努金（Ramanujan)公式另一个经过改进的计算公式为：0332364032054514013413591409)!3()!()!6()1(640320121nnnnnnn级数每增加一项，可提高14位小数的精度。主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25迭代公式迭代公式1：1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的迭代公式：)1(2)1(246111122121404410nnnnnnnnnnnnyyyayaazzyyzy主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25迭代公式迭代误差可以由下式估计neann421641迭代4次可精确到693位小数！8次后可以保证精确到小数点178814位！！！主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25迭代公式迭代公式2：1996年，Baiey发现了另一个收敛于1/pi的迭代公式：)52(2552/1,)/2/21(25)73)7((),15()52(),25(5121121112102551321210nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyayaaeedyycdcdeydycy主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25迭代公式迭代误差可以由下式估计neann51651主页上一页下一页HeRenbin2019/12/25结语随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，计算Pi的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，Pi的数值已计算到小数点后2061.5843亿位。这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于1999年9月创造的。计算用了37h21min，检验用了46h7min.虽然这样高的精确度已经没有太多的实际意义