江苏省南京市江宁高级中学2013届高三上学期期中考试数学试题

1南京市江宁高级中学2013届高三上学期期中考试数学2012.11.22班级学号姓名一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知i是虚数单位，复数2(1)1izi，则z等于i1．2.“2acb”是“abc、、成等比数列”的__必要不充分_条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一）。3.已知12321,21,21,,21nxxxx的方差是3，则123,,,,nxxxx的标准差为32．4.从集合}2,1,1{A中随机选取一个数记为k，从集合}2,1,2{B中随机选取一个数记为b，则直线bkxy不经过第三象限的概率为92．5.右图程序运行结果是21．6.等差数列{}na的公差0d，且358aaa、、依次成等比数列，则59Sa=___2____.7.已知1:210lxmy与2:31lyx，若两直线平行，则m的值为328.在ABC中，内角ABC、、所对的边分别是abc、、，若4,7cb，BC边上的中线AD的长为72，则a=__9_____.9.已知数列{}na是等差数列，O为坐标原点，平面内三点ABC、、共线，且10061007OAaOBaOC，则数列{}na的前2012项的和2012S=__1006_____.10.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为__48___3cm.11.ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且02ACABOA，||||ABOA，则CACB3．12.设点12,FF分别为椭圆22221(0)xyabab的左，右两焦点，直线l为右准线．若在椭圆上存在点M，使1MF，2MF，点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值a←1b←1i←4WHILEi≤6a←a+bb←a+bi←i+1ENDWHILEPRINTb程序运行结果是2ABCC1B1A1FDE（第15题）OM范围是_____21,1_．13.设曲线xeaxy1在点10,yxA处的切线为1l,曲线xexy1在点20,yxB处的切线为2l.若存在23,00x,使得21ll,则实数a的取值范围为312a．14.若实数,,abc成等差数列，点(1,0)P在动直线0axbyc上的射影为M，点(3,3)N，则线段MN长度的最大值是52．二.解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱1CC上，已知ABAC，13AA，2BCCF．（1）求证：1//CE平面ADF；（2）设点M在棱1BB上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF？16.（本小题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知1,sin23CAB.（1）求sinA的值；（2）设6,AC求ABC的面积．17.（本小题满分14分）已知{na}是等差数列,其前n项和为nS,{nb}是等比数列,且1a=1=2b,44+=27ab,44=10Sb.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式;(Ⅱ)记nnnnnbabababaT112211,+nN,证明+12=2+10nnnTab+()nN.318.(本小题满分16分)已知三条直线)0(02:1aayxl，0124:2yxl和01:3yxl，且1l与2l的距离是1057；（1）求：a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到1l的距离是点P到2l的距离的21；③点P到1l的距离与点P到3l的距离之比是5:2？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由。19.(本小题满分16分)已知函数()lnfxxax()aR.（1）当2a时，求函数()fx的单调区间；（2)当a0时，求函数()fx在[1,2]上最小值.20.(本小题满分16分).已知数列na和nb满足：1a=λ,1na=35,(1)(436),4nnnnanban其中λ为实数，n为正整数.nS为数列nb的前n项和.（1）对任意实数λ，证明:数列na不是等比数列；（2）对于给定的实数λ，试求数列nb的通项公式，并求nS；（3）设0ab（,ab为给定的实常数）,是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有naSb?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.415.解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，123CFCOCCCE．从而OF//C1E．OF面ADF，1CE平面ADF，所以1//CE平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM平面ADF．在直三棱柱111ABCABC中，由于1BB平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以ADBC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1．而CM平面B1BCC1，于是ADCM．因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以RtCBM≌RtFCD，所以CMDF．DF与AD相交，所以CM平面ADF．CM平面CAM，所以平面CAM平面ADF．当BM=1时，平面CAM平面ADF．16.（1）33；（2）32．17.(1)设等差数列na的公差为d,等比数列nb的公比为q,由112ab,得344423,2,86adbqSd,由条件得方程组33232273286210dqdqdq,故*31,2()nnnanbnN（2）1211223112112222()22nnnnnnnnnnnaaTababababaaaa111213132352222nnnnnnnannncc12231112[()()()]2()nnnnnnTcccccccc1022(35)1021212102nnnnnnnbaTba18.解：3a；)1837,91(P19、解：(Ⅰ)21)(xxf(0x),…………………2分①由021)(xxf，得210x…………………4分②由021)(xxf，得21x……………………………6分故函数()fx的单调递增区间为)21,0(,单调减区间是),21[.………………8分5(Ⅱ)①当11a,即1a时,函数()fx在区间[1,2]上是减函数,∴()fx的最小值是(2)ln22fa.………………10分②当12a，即12a时，函数()fx在区间[1,2]上是增函数，∴()fx的最小值是(1)fa.………………12分③当112a，即112a时，函数()fx在1[1,]a上是增函数，在1[,2]a是减函数．又(2)(1)ln2ffa，∴当1ln22a时,最小值是(1)fa；当ln21a时,最小值为(2)ln22fa.………………15分综上可知,当0ln2a时,函数()fx的最小值是axfmin)(；当ln2a时，函数()fx的最小值是axf22ln)(min.20.解：（1）证明：假设存在一个实数，使na是等比数列，则有2122aaa,即（344）2=29961616296164160,16矛盾.所以na不是等比数列.-----------------------4分（2）因为11113(1)[4(1)36](1)(327)4nnnnnbanan33(1)(436)44nnnanb当32时，1(32)0b,由上可知0nb，∴134nnbb+()nN.故当32时，数列{b}n是以(32)为首项，34为公比的等比数列。13(32)4nnb，43(32)1()74nnS当32时，0nb，0nS------------------------------8分（3）由（2）知，当32时，0nb，0nS,不满足题目要求.∴32要使naSb对任意正整数n成立，即43(32)[1()]()74nabnN64(32)3371()1()443()1()4nnnabfn得　　　　　　　　　　令，则当n为正奇数时，71()4fn7;()1,16nfn当为正偶数时，∴()fn的最大值为7(1)4f,()fn的最小值为7(2)16f,于是，由①式得167a-47(32)432432.7bba当4aba时，由32432ba，不存在实数满足题目要求；当4ba存在实数λ，使得对任意正整数n,都有naSb,且λ的取值范围是(32,432)ba.-----------------------------16分