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基本实验1.微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向,确定平衡点,并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类:解答:(1)由平衡点的定义可得,f(x)=x=0,f(y)=y=0,因此平衡点为(0,0),系统的线性近似方程的系数矩阵为1001A,解得其特征值121.0221p,0121q.对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。自治系统相应轨线为:(2)由平衡点的定义可得,f(x)=-x=0,f(y)=2y=0,因此平衡点为(0,0),系统的线性近似方程的系数矩阵为2001A,解得其特征值2;121.0121p,0221q.对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。自治系统相应轨线为:(3)由平衡点的定义可得,f(x)=y=0,f(y)=-2x=0,因此平衡点为(0,0),系统的线性近似方程的系数矩阵为0210A,解得其特征值ii2;221.021p,0221q.对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。自治系统相应轨线为:(4)由平衡点的定义可得,f(x)=-x=0,f(y)=-2y=0,因此平衡点为(0,0),系统的线性近似方程的系数矩阵为2001A,解得其特征值2;121.0321p,0221q.对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是稳定的。自治系统相应轨线为:2.营养平衡问题营养以每单位时间R个分子的常速流入一个细胞,并且以其内营养浓度成比例的速度离开,比例常数为K,设N为t时刻的浓度,则上述营养变化速度的数学描述为:KNRdtdN即N的变化速度等于营养进入细胞的速度减去它们离开的速度,营养的浓度会达到平衡吗?如果能,平衡解是什么?它是稳定的吗?试用这个方程解的图示解释之。解答:由题意可得N满足的微分方程为:dNfNRKNdt,令0Nf,可求得方程的平衡点0RNK,当0NN时,0Nf;当0NN时,0Nf.不难计算出'fNK,由题意知0K,故平衡点是稳定的。由以上分析可做图示分析如下:3.种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为1r,则由Malthus生长律有NrdtdN1,但是,处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤,它们死亡的数量与21N成比例,其比例系数为2r,求N满足的微分方程.不用求解,图示其解族.方程是否有平衡解,如果有,是否为稳定的?解答:由题意可得N满足的微分方程为:2121NrNrdtdNNf,令0Nf,可求得方程的两个平衡点212212;0rrNN,分析可得,当0N时,单调递减,当21220rrN时,单调递增,当2122rrN时,单调递减,所以01N是不稳定的,21222rrN是稳定的。对Nf求二次微分可得:11222121221()()2dNrrNrNrNdt,令tdNd22得21224rrN,该点即为曲线的拐点。方程的解族如下图所示:xy由图形也可以看出,01N是不稳定的,21222rrN是稳定的。4.单种群开发模型考虑单种群开发方程1--().dxxrxExErdtN()用数学表达式证明:在稳定状态下,最优捕捞率为2*rE解答:由本问题的目标出发,渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形,不必知道每一时刻的鱼量变化情况,故不需要解出方程,只需要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。令()=1--0dxxfxrxExdtN()解得的两个平衡点为:0(1)ExNr,10x易得ErxfrExf1'0';由定理知:若00'xf,则0x是稳定的;若00'xf,则0x不是稳定的。应用上述近似判别法,所以有当Er时,0,01'0'xfxf,0x是稳定平衡点,1x不是稳定平衡点;当Er时,0,01'0'xfxf,0x不是稳定平衡点,1x是稳定平衡点;所以,当捕捞适度(即:Er)时,可使渔场产量稳定在rENx10,从而获得持续产量,而当捕捞过度(即:Er)时,渔场产量将减至01x,从而是不可持续的。令0()(1)EhxNEr求导可得:*2(1)02dhErNEdxr所以,最优捕捞率为2*rE。5.Compertz模型设渔场鱼量自然增长服从Gompertz模型:xNrxdtdxln其中r为固有增长率,N为最大种群数量。若单位时间捕捞量为hEx.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0x。解答:令:()lnNfxrxExx由:0xf,0lnExxNrx,解得该方程的平衡点为rENex0,01x.'lnNfxrrEx01'0,'fxrfx,可得平衡点0x是稳定的,而平衡点1x不稳定.最大持续产量的数学模型为:.0,0ln..maxxExxNrxtsExh 由前面的结果可得rEENehrErEerENNedEdh,令0dEdh可得最大产量的捕捞强度rEm,从而得到最大持续产量erNhm/,此时,渔场鱼量水平eNx*0。6.有限资源竞争模型微分方程1111112222221122[(1)][(1)]dxxacbxbxdtdxxacbxbxdt是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型,假设c1a1,c2a2。试用微分方程稳定性理论分析:(1)如果2211caca,则ttx01(2)如果2211caca,则ttx02(3)用图形分析方法来说明上述两种情况。解答:(1)令111111122222221122()[(1)]0()[(1)]0dxfxxacbxbxdtdxfxxacbxbxdt得方程的平衡点为P0(0,0),P1(1111cacb,0),P2(0,2222cacb).对平衡点P0(0,0),系数矩阵112200caAca又c1a1,c2a2则p=-[(c1-a1)+(c2-a2)]0,所以该平衡点不稳定。对平衡点P1(1111cacb,0),系数矩阵211111112111()()0bcaacbAcacacc则p=2112111accacac,q=11211221)()[())]accacac(c,若1212aacc,且c1a1,c2a2,则q0不稳定。而对于P2(0,2222cacb),有p0,且q0稳定,此时1()0();xtt说明物种1最终要灭亡。(2)如果1212aacc的情况下,方程在P1(1111cacb,0)稳定,其他点不稳定,此时2()0();xtt说明物种2最终会灭亡。(3)对于线性方程组12111122121010xxlNNxxlNN直线直线,其中,112221211121--,,.cacabNNbcbcb直线12ll和将第一象限分成三个区域。①当1212aacc时,P2点稳定,通过分析12xx,的单调性可得下图:此时1()0();xtt说明物种1最终要灭亡。②当1212aacc时,P1点稳定,通过分析12xx,的单调性可得下图:此时2()0();xtt说明物种2最终要灭亡。7.蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型'1123'223'31223()()()()()()()()()()()()xtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt其中10288/3,,,且初值为,1230000xxx))(,)((,ε为一个小常数,假设1010,且0100t。(1)用函数ode45求解,并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图;(2)适当地调整参数σ,ρ,β值,和初始值x1(0),x2(0)=0,x3(0),重复一的工作,看有什么现象发生。解答:(1)创建plot_yuanzhe.m文件,在plot_yuanzhe.m文件中编写下面的语句:在plot_yuanzhe.m文件中,编写下面的语句:f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);subplot(2,2,1),plot(x(:,2),x(:,1))xlabel('x_2');ylabel('x_1');subplot(2,2,2),plot(x(:,2),x(:,3))xlabel('x_2');ylabel('x_3');subplot(2,2,3),plot(x(:,3),x(:,1))xlabel('x_3');ylabel('x_1');运行程序,可得下面的图形:(2)修改此题的参数,令3/5,12,5,且初值不变,1010保持不变,运行上面的程序,可得下面的图形:修改此题的参数,令3/7,30,12,且初值不变,1010保持不变,运行上面的程序,可得下面的图形:可以发现,修改参数和初始值,图形会发生很大变化。8.药物动力学模型解答:题目中没有3,这里我拟将3作为肠道中的初始药物浓度。(1)根据课件中的“药物分部中的房室模型”,该题为二室模型,其满足的微分方程组如下:00023121112111dtddtd(2)求解微分方程:创建D8_yuanzhe.m文件,编写下面的语句:[x,y]=dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=c','y(0)=0')可以得到下面的结果:x=((a^2*c)/(exp(a*t)*(a-b))-(a*b*c)/(exp(a*t)*(a-b)))/ay=(a*c)/(exp(b*t)*(a-b))-(a*c)/(exp(a*t)*(a-b))最小二乘曲线拟合的方法求解参数:创建D8_2_yuanzhe.m文件,编写下面的语句:t=[123468101216];y=[0.71.21.41.41.10.80.60.50.3];f=@(a,t)(-a(1)*-a(3))/exp(-a(2)*t).*(a(1)-a(2))-(a(1)*a(3))/exp(a(1)*t))*(a(1)-a(2));a=[1;2;3];[a,b,c]=lsqcurvefit(f,a,t,y)可以得到下面的结果:a=0.18300.43475.9981b=0.0356c=0.1080-0.0039-0.0652-0.06910.03330.07410.0432-0.0384-0.0707所以:参数的估计值为:9981.5,4347.0,1830.0321.加分实验(化学动力学模型)解答:(1)根据题意建立模型:14223232211214111ffdtdffffdtdfffdtdf(2)创建D9_yuanzhe.m文件,编写下面的语句:[x,y,z]=dsolve('Dx=-a*x-d*x','Dy=a*x-b*y-c*y','Dz=b*y+d*x','x(0)=1','y(0)=0','z(0)=0')可以得到下面的结果:x=-((a*b*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))
本文标题:数学建模实验二
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