江苏省南师附中2012届高三高考模拟卷(十)(最后一卷)数学试题

2012届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)数学(满分160分，考试时间120分钟)2012．5参考公式：锥体的体积公式为V＝13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.设集合U＝R，集合M＝{x|x2－x≥0}，则∁UM＝______________．2.高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为______________．(第4题)3.已知i为虚数单位，a＋ii＝2，则正实数a＝________________．4.执行右图所示的算法流程图，若输出的结果为12，则输入的x为________________．5.在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝－3x上，且x＞0，则sinα＝____________．6.从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数记为a，从集合{2，3，4}中随机选取一个数记为b，则b＞a的概率是__________．7.已知向量a＝(x－z，1)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式组x－2y＋2≥0，x＋2y－2≥0，x≤2，则z的取值范围是______________．8.“a＝1”是“函数f(x)＝2x－a2x＋a在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)(第9题)9.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．10.已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，B1B2是双曲线的虚轴，M是OB1的中点，过F、M的直线交双曲线C于A，且FM→＝2MA→，则双曲线C离心率是______________．11.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2，3a5＝b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an＝3logubn＋v，则u＋v＝______________．12.已知函数f(x)＝loga(x3－ax)(a＞0且a≠1)，如果函数f(x)在区间－12，0内单调递增，那么a的取值范围是____________．(第13题)13.如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动．当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨道为G.若G的周长为l，其围成的面积为S，则l－S的最大值为____________．14.记F(a，θ)＝a2＋2asinθ＋2a2＋2acosθ＋2，对于任意实数a、θ，F(a，θ)的最大值与最小值的和是__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)，x∈R的图象有一个最高点π3，1.(1)求f(x)的解析式；(2)若α为锐角，且f(α)＝13，求f(－α)的值．16.(本小题满分14分)如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直．EF∥BD，AB＝2EF.求证：(1)BF∥平面ACE；(2)BF⊥BD.17.(本小题满分14分)如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA＝1km，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围．18.(本小题满分16分)已知抛物线D的顶点是椭圆C：x216＋y215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．①若直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx.(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；(3)当m＞0时，若曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值．20.(本小题满分16分)如果无穷数列{an}满足下列条件：①an＋an＋22≤an＋1；②存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．(1)设数列{bn}的通项为bn＝5n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；(2)设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝14，S3＝74，证明：数列{Sn}是Ω数列；(3)设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.2012届高三模拟考试试卷(十)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修41：几何证明选讲)从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD.从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F.求证：BE平分CD.B.(选修42：矩阵与变换)已知二阶矩阵A＝a3c1，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝1－1.(1)求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2)若向量m＝－1－4，求A4m.C.(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，点A22，－π4，圆O1：ρ＝4cosθ＋4sinθ.(1)将圆O1的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断点A与圆O1的位置关系．D.(选修45：不等式选讲)已知a，b，x，y均为正数，且1a＞1b，x＞y.求证：xx＋a＞yy＋b.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项．已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从文娱队中选2人，设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(X＞0)＝710.(1)求文娱队的总人数；(2)计算E(X)．23.已知fn(x)＝(1＋x)n，n∈N*.(1)若g(x)＝f4(x)＋2f5(x)＋3f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：pn(a1a2…an＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)．2012届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)数学参考答案及评分标准1.(0，1)2.173.34.－25.－326.257.13≤z≤28.充分不必要9.22π310.5211.612.34，113.5π414.415.解：(1)由题意，A＝1，sinπ3＋φ＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝π6，所以f(x)＝sinx＋π6.(6分)(2)由题意，sinα＋π6＝13＜12，又α∈0，π2，所以α＋π6∈0，π6，所以cosα＋π6＝223，(10分)所以f(－α)＝sin－α＋π6＝sinπ3－α＋π6＝sinπ3cosα＋π6－cosπ3sinα＋π6＝32×223－12×13＝26－16.(14分)16.证明：(1)AC与BD交于O点，连结EO.正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB＝2EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形∴BF∥EO，又∵BF平面ACE，EO平面ACE，∴BF∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO平面ACE∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)17.解：(1)由CD∥OA，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝2π3，∠COD＝π3－θ.在△OCD中，由正弦定理，得CD＝23sinπ3－θ，θ∈0，π3(6分)(2)设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知，f(θ)＝θ＋1＋23sinπ3－θ.(8分)所以f′(θ)＝1－23cosπ3－θ，因为θ∈0，π3，所以π3－θ∈0，π3，令f′(θ)＝0，得cosπ3－θ＝32，所以π3－θ＝π6，所以θ＝π6.θ0，π6π6π6，π3f′(θ)＋0－f(θ)极大值所以f(θ)∈2，π＋6＋236.故所需渔网长度的取值范围是2，π＋6＋236.(14分)18.解：(1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．由a2－b2＝4－3＝1，得c＝1.∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线D的方程为y2＝4x.(4分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①直线l的方程为：y＝x－4，联立y＝x－4，y2＝4x，整理得x2－12x＋16＝0.M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴MN＝（x1－x2）2－（y1－y2）2＝410.(9分)②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心Mx1＋42，y12，过M作直线x＝a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G.可得|EG|2＝|MG|2－|ME|2，(11分)即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝（x1－4）2＋y214－x1＋42－a2＝14y21＋（x1－4）2－（x1＋4）24＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.(14分)当a＝3时，|EG|2＝3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值23.因此存在直线m：x＝3满足题意．(16分)19.解：(1)当m＝－1时，f(x)＝－x2－x＋lnx，所以f′(x)＝－2x－1＋1x＝－（2x－1）（x＋1）x，所以当0＜x＜12，f′(x)＞0，当x＞12，f′(x)＜0，因此当x＝12时，f(x)max＝f12＝－34－ln2.(3分)(2)f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x＋1x，即2mx2－x＋1＜0在(0，＋∞)上有解．①m≤0显然成立；②m＞0时，由于对称轴x＝14m＞0，故Δ＝1－8m＞0m＜18，综上，m＜18.(8分)(3)因为f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，所以切线方程为y－m＋1＝2m(x－1)，即y＝2mx－m－1，从而方程mx2－x＋lnx＝2mx－m－1在(0，＋∞)上只有一解．令g(x)＝mx2－x＋lnx－2mx＋m＋1，则g′(x)＝2mx－1－2m＋1x＝2mx2－（2m＋1）x＋1x＝（2mx－1）（x－1）x，(10分)所以1°m＝12，g′(x)≥0，所以y＝g(x)在x∈(0，＋∞)单调递增，且g(1)＝0，所以mx2－x＋lnx＝2mx－m－1只有一解．(12分)2°0＜m＜12，x∈(0，1)，g′(x)＞0；x∈1，12m，g′(x)＜0；x∈12m，＋∞，g′(x)＞0由g(1)＝0及函数单调性可知g12m＜0，因为g(x)＝mxx－2＋1m＋m＋lnx＋1，取x＝2＋1m，则g2＋1m＞0.因此在12m，＋∞方程mx2－x＋lnx＝2mx－m－1必有一解从而不符题意(1