江苏省南通市通州区2014届高三数学4月最后一卷试题苏教版

1江苏省南通市通州区2014届4月高三数学最后一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合1|2Axx，|21xBx，则AB▲．2．复数512i的共轭复数是▲．3．已知集合|,9nAnZ，若从A中任取一个元素作为直线l的倾斜角，则直线l的斜率小于零的概率是▲．4．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要条件是▲．（填写序号）①1ab；②1ab；③22ab；④33ab5．设函数1()1fxxb，若,,abc成等差数列（公差不为零），则()()fafc▲．6．执行如图所示的程序框图，输出n▲．7．定义在0,上的函数fx的导函数0fx恒成立，且41f，若()1fxy≤，则22xy的最小值是▲．8．设偶函数sin0,0,0fxAxA的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，90,1KMLKL，则1()6f的值为▲．9．若两圆222240xyaxa和2224140xybyb恰有三条公切线，其中,,0abRab，则2241ab的最小值为▲．开始0,0,2STnTSNTTn结束输出n5SSY2nn第6题图OMLKyx第8题图210．如图，在直角梯形ABCD中，,,,BCDCAEDCMN分别是,ADBE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是▲（填上所有正确的序号）．①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有//MNDEC平面；②不论D折至何位置，都有MNAE；③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有//MNAB；④在折起的过程中，一定存在某个位置，使ECAD．11．已知函数221,11,1xaxxfxaxxx在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是▲．12．设12,FF是双曲线2214yx的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使220OPOFFP（O为坐标原点），且12PFPF，则的值为▲．13．在ABC中，3ABAC，AD是A的平分线，且ADmAC，则实数m的取值范围是▲．14．已知等比数列{}na满足11a，102q，且对任意正整数k，12()kkkaaa仍是该数列中的某一项，则公比q的取值集合为▲．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC中，已知sinsinsincoscosBCABC．（1）判断ABC的形状；（2）若角A所对的边1a，试求ABC内切圆半径的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，已知ABCD是直角梯形，90,//,2,1ABCADBCADABBC，PAABCD平面．BAEDCMNPDAE3（1）证明：PCCD；（2）若E是PA的中点，证明：//BEPCD平面；（3）若3PA，求三棱锥BPCD的体积．17．（本小题满分14分）诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．假设基金平均年利率为6.24%r．资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元．设()fx表示为第x(*xN)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为1f)．（1）用1f表示2f与3f，并根据所求结果归纳出函数()fx的表达式．（2）试根据()fx的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：101.06241.83，101.03121.36）19．（本小题满分16分）已知函数lnfxx．（1）求函数1gxfxx的最大值；（2）若0x，不等式21fxaxx恒成立，求实数a的取值范围；（3）若120xx，求证：1222212122fxfxxxxxx．20．（本小题满分16分）4已知数列{}na，{}nb满足：1*nnnbaanN．（1）若11,nabn，求数列{}na的通项公式；（2）若112nnnbbbn，且121,2bb．①记611nncan，求证：数列nc为等差数列；②若数列nan中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a应满足的条件．南通市通州区2012届高三数学最后一卷参考答案及评分标准一、填空题1．0xx2．12i3．494．②5．26．107．88．349．13910．①②④11．1,0212．213．3(0,)214．{21}二、解答题15．解：由已知等式利用正、余弦定理得222222()22acbabcbcaacab，…………………………3分整理得2220bcbca，222bca，所以，ABC为直角三角形，且90A．…………………………6分（2）由ABC为直角三角形，知内切圆半径11(sinsin1)(sincos1)222bcarBCBB，…………11分sincos2sin()24BBB，212r．…………………………14分16．（1）证明：由已知易得2,2ACCD，222,90ACCDADACD，即ACCD．…………………………3分5又PAABCD平面，CDABCD平面，PACD，由PAACA，CDPAC平面，PCPAC平面，CDPC．…………………………6分（2）证明：取AD的中点F，连接,BFEF．2,1,//,ADBCBCFDBCFD，四边形BCDF是平行四边形，即//BFCD，BFPCD平面，//BFPCD平面．………8分,EF分别是,PAAD的中点，//EFPD，EFPCD平面，//EFPCD平面．………10分EFBFF，//BEFPCD平面平面，,//BEBEFBEPCD平面平面．………11分（3）解：由已知得12BCDS，所以，1132BPCDPBCDBCDVVPAS．…………………………14分17．解：（1）由题意知：1(2)(1)(16.24%)(1)6.24%2fff(1)(13.12%)f，一般地：1(3)(2)(16.24%)(2)6.24%2fff2(1)(13.12%)f，…4分∴1()19800(13.12%)xfx（*xN）．……………………………………7分（2）2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为：9(10)19800(13.12%)26100f，…………………………………………10分2012年度诺贝尔奖各项奖金额为11(10)6.24%13662f万美元，………12分与150万美元相比少了约14万美元．答：新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻．……14分18．解：（1）点3,1A代入圆C方程，得2(3)15m．PDCBAEF6∵m＜3，∴m＝1．……………………2分圆C：22(1)5xy．设直线PF1的斜率为k，则PF1：(4)4ykx，即440kxyk．∵直线PF1与圆C相切，∴2|044|51kkk．解得11122kk或．……………………4分当112k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当12k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．124,0,4,0FF．2a＝AF1＋AF2＝52262，32a，a2＝18，b2＝2．所以，椭圆E的方程为：221182xy．………………………8分2（2）(1,3)AP，设,Qxy，(3,1)AQxy，(3)3(1)36APAQxyxy．……………………10分∵221182xy，即22(3)18xy，而22(3)2|||3|xyxy≥，∴33xy．……………………12分则222(3)(3)6186xyxyxyxy的取值范围是0,36．3xy的取值范围是6,6．∴36APAQxy的取值范围是12,0．……………………16分（注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决）19．解：（1）ln11gxxxx，则1111xgxxx．…………2分当1,0x时，0gx，则gx在1,0上单调递增；当0,x时，0gx，则gx在0,上单调递减，所以，gx在0x处取得最大值，且最大值为0．………………………4分7（2）由条件得ln1xaxaxx在0x上恒成立．………………………6分设lnxhxx，则21lnxhxx．当1,xe时，0hx；当,xe时，0hx，所以，1hxe．要使fxax恒成立，必须1ae．………………………8分另一方面，当0x时，12xx，要使21axx恒成立，必须2a．所以，满足条件的a的取值范围是1,2e．………………………10分（3）当120xx时，不等式1222212122fxfxxxxxx等价于112212222ln()1xxxxxx．……12分令12xtx，设222ln11ttttt，则22221101ttttt，t在1,上单调递增，10t，所以，原不等式成立．……………………………16分20．解：（1）当2n时，有21213211121122nnnnnnaaaaaaaaabbb．又11a也满足上式，所以数列na的通项公式是2122nnna．……………4分（2）①因为对任意的*nN，有5164321nnnnnnnbbbbbbb，所以，1656161661626364111221722nnnnnnnnnnccaabbbbbb，所以，数列nc为等差数列．……………………8分②设6*nnicanN（其中i为常数且1,2,3,4,5,6i，8所以，1666661626364657nnninininininininiccaabbbbbb，即数列6nia均为以7为公差的等差数列．……………………10分设677767766666666iikiikikaiaiaakfkiikikik．（其中6,0,nkiki为1,2,3,4,5,6中一个常数）当76iai时，对任意的6nki，有76nan；……………………12分当76iai时，17776666166616iikkiaiaiffaikikikiki．（Ⅰ）若76iai，则对任意的kN有1kkff，所以数列66kiaki为递减数列；（Ⅱ）若76iai，则对任意的kN有1kkff，所以数列66kiaki为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236