数学模型复习题

数学模型复习题1、)(tx为连续函数，初值条件0)0(xx，假设其增长率为常数r，显然有ttrxtxttx)()()(，则其满足微分方程；微分方程满足初值条件的解为；这个模型称为。2、叙述数学建模的一般步骤模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用3、简述数学模型按以下方面的分类：按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g每支2.5元，120g每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。（1）分析商品单位重量价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w）无关。（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它们的简图。说明w越大C越小，但是随着w的增加C减小的速度变慢，解释其意义是什么？5、2005级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1050人，其中统计学专业600人，信息与计算科学专业400人，数学与应用数学专业50人。要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者；（2）用Q值方法进行分配6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一个生产周期T内，原料每天的需求量为常数r，每次的定货费用为1c，每天每单位原料的存储费为2c，订货后可立即到货，每次订货量为Q。（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q、订货周期T和最小成本C。7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；8、利润)(pU是销售收入)(pI与生产支出)(pC之差，p为每单位商品的售价，即)()()(pCpIpU。dpdI称为；dpdC称为；dpdU称为；利润最大化的条件是。给定pxpI)(，qxpC)(，需求函数bpapx)(，0,,qba已知（1）建立利润函数的表达式；（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21qqU，问他如何利用手中的钱s购买两种单价分别为1p和2p的商品以达到效用最大。（1）建立效用最大化的数学规划模型；（2）利用Lagrange乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。10、某公司用木头雕刻士兵模型出售。公司的两大主要产品分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别是28美元和30美元。制作一个“盟军”士兵需要使用2张木版，花费4小时的木工，再经过2小时的整修；制作一个“联军”士兵需要使用3张木版，花费3.5小时的木工，再经过3小时的整修。该公司每周能得到100张木版，可供使用的木工（机器时间）为120小时，整修时间为90小时。（1）确定每种士兵的生产数量，使得每周的利润最大，建立线性规划问题的数学模型。（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)972.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX19.0000000.000000X224.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)10.0000000.0000003)0.0000004.8000004)0.0000004.400000NO.ITERATIONS=1RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX128.0000006.2857158.000000X230.00000012.0000005.500000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE2100.000000INFINITY10.0000003120.00000060.00000014.999999490.00000010.00000030.00000011、牧场主知道，对于一匹体型中等的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质、20磅碳水化合物、45磅粗饲料，这些营养成分是从不同的饲料中得到的，饲料及其价格如下表：饲料营养成分干草（每捆）燕麦片（每袋）饲料块（每块）高蛋白浓缩料（每袋）每批马的需求（每天）蛋白质（磅）0.51.02.06.040.0碳水化合物（磅）2.04.00.51.020.0粗饲料（磅）5.02.01.02.545.0价格（美元）1.803.500.401.00（1）建立数学模型，确定如何以最少的成本满足最低的营养需求。对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)17.00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX15.0000000.000000X20.0000001.500000X320.0000000.000000X40.0000000.100000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)2.5000000.0000003)0.000000-0.4000004)0.000000-0.200000NO.ITERATIONS=3RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX11.8000000.2000000.200000X23.500000INFINITY1.500000X30.4000000.0468750.040000X41.000000INFINITY0.100000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE240.0000002.500000INFINITY320.0000002.5000000.131579445.0000000.3333335.00000012、用)(tx和)(ty分别表示甲乙交战双方时刻t的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为),(),,(yxgyxf；每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为)(),(tvtu。则兵力变化的微分方程为：)(),()(),(tvyyxgdtdytuxyxfdtdx根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。正规战争：00)0(,)0(yyxxbxdtdyaydtdx游击战争：00)0(,)0(yyxxdxydtdycxydtdx混合战争：00)0(,)0(yyxxbxdtdycxydtdx13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到物价上涨因素，我们记物价上升指数为)1)0()((ptp，则产品的表面价值)(ty、实际价值)(tQ和物价指数)(tp之间有关系)()()(tptQty。（1）导出)(),(),(tptQty的相对增长率之间的关系，并作出解释；（2）设雇佣工人数为)(tL，每个工人的工资)(tw，其他成本)(tC企业的利润函数为)()()()()()()()()()(tCtwtLtptQtCtwtLtytR根据Cobb—Douglas生产函数)()()(1tktaLtQrr讨论，企业应雇佣多少工人可使利润最大？14、记时刻t渔场中的鱼量为)(tx，在无捕捞的条件下)(tx的增长服从Logistic规律Nxrxdxdx1其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。解这个微分方程满足初值条件0)0(xx，并解释何时鱼量达到最大？15、Volterra食饵—捕食者模型)()(bxdydtdyayrxdtdx（1）消去dt后，化为关于yx,的微分方程；（2）分离变量，求解上述微分方程并进行化简；（3）解释食饵—捕食者两类生物数量变化的规律。16、叙述层次分析法的基本步骤17、用层次分析法解决一个实际问题，建立合理的层次结构，并给出层次结构中所有关系的判别矩阵。（不必求解）18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特征值与对应的权重。计算一致性指标CI，根据3阶判断矩阵的随机性一致指标为58.0RI，计算一致性比率CR并作一致性检验。12/15/1212/1521A,1383/1138/13/11A,12/14/1213/1431A19、已知6支球队循环比赛的邻接矩阵000100100100110000001011111000111010A（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序已知4支球队循环比赛的邻接矩阵0001100011000110A（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序已知5支球队循环比赛的邻接矩阵0100000011110101000110100A（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序20、有n个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期是常数，n个工作台均匀排列；每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；在一个周期内有m个钩子通过每一个工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的；每个工人在任何时候都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是他在生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空，则他只能将这件产品放在地上，永远退出这个系统。（1）证明：任一个钩子非空的概率为nmp111；（2）计算这个传送系统的传送率21、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设每份报纸的购进价为b，零售价为a，退回价为c，满足cba。如果每天报纸的需求量是随机的，需求r份的概率,.....)3,2,1,0)((rrf，或者可以把r看作连续变化的，其密度函数为,.....)3,2,1,0)((rrf。如果报童每天从报社购进n份报纸，L是报童每天所得利润，则L是r与n的函数)(rgL（1）建立利润函数)(rgL；（2）确定每天的购进量n，使报童每天的期望利