数学物理方程与特殊函数课件ppt10

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2本次课主要内容(一)、定解问题的建立(二)、方程的化简习题课(三)、δ函数(四)、分离变量方法0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3(一)、定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件。建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);(2).进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。(3).化简、整理算式。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5例1一根半径为r,密度为ρ，比热为c，热传导系数为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求杆上温度满足的方程解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元[x,x+dx]x+dxxx在dt时间里，微元段获得的热量为：(,)(,)xxkuxdxtSuxtSdt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出1tQcSdxudt211()2Qkuurdxdt所以，微元段满足的方程为：(,)(,)xxkuxdxtSuxtSdt11()2tcSdxudtkuurdxdt112()xxtkkuuuuccr所以，方程为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n71、写出特征方程：2、计算211122220dydyaaadxdx2121122aaa3、作变换(1)、012(,)(,)xyxy(二)、方程的化简0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8(2)、012(,)(,)xyxy12(,)(,)xyxyic0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9(3)、0(,)()xyxy或(,)xyc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n104、求出变换方程：1112111221222122TaaaaQQaaaa12,,,bLcbLcccff其中：xyxyQ0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11二阶线性方程分类：2121122aaa0(1)双曲型0抛物型0椭圆型(2)(3)说明：分类也指点的邻域内的分类！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12例1求方程的通解02xxttuau解：此方程是双曲型的第二标准形，但我们要求解它可将其化成第一标准形的形式，所以先得由特征方程求特征函数：022adtdxadtdx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13atxatx11xyxyaQa所以1112111221222122TaaaaQQaaaa21101011aaaaa0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1421101011aaaaa220220aa10bLc20,0bLccf0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15可得0u11212ugugdfff是原方程的通解atxfatxfu210.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16例3化下面方程为标准型4520xxxyyyxyuuuuu2dyidx解：212112210aaa方程属于椭圆型2yxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n172110xyxyQ所以1112111221222122TaaaaQQaaaa2112211025100.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18100110bLc21,0bLccf0uuu可得标准型：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19δ函数是指满足下面两个条件的函数0000,(1).(),xxxxxx0001,(,)(2).()0,(,)baxabxxdxxab(三)、δ函数例4、求证：22sin()()limuxuxxu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20分析：需证明等式右端满足δ函数两条件。220sin()lim[lim]limuxuxuuxu又当x不等于0时有：222sin()10xuxuxu证明：当x=0时，考虑到：22sin()lim0uxuxu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n212200,0sin()lim,0xxxuxxu由于22222sin()sin()()1xuxudxdxuxuxu22sin()lim1uxudxxu22sin()()limuxuxxu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22例5、求证：01()4MMr其中证明：当M不等于M0时，直接计算可得：30,MMR222000()()()rxxyyzz104r0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23另一方面：11()144KSdVdSrrr01()4MMr所以：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24(1)、分离变量(2)、求解固有值问题(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解1、最基本的分离变量法求定解的步骤(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。(四)、分离变量方法2、常涉及的几种固有值问题问题：最基本分离变量对定解问题的要求？0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n250(1),(0)0,()0XXXXL222(1,2,3)nnnL()sin,(1,2,)nnnxXxBnL0(2),(0)0,()0XXXXL222(0,1,2,3)nnnL()cos,(0,1,2,)nnnxXxBnL0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n260(3),(0)0,()0XXXXL2221()2(0,1,2,3)nnnL12()sin,(1,2,)nnnXxBxnL0(4),(0)0,()0XXXXL2221()2(0,1,2,3)nnnL12()cos,(0,1,2,)nnnXxBxnL0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n270(5),(2)()2(0,1,2,3)nnn()cossin,(0,1,2,)nnnAnBnn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n283、固有函数值方法(一般分离变量求解)1211112222(,),(0,)(,)(,)0(2)(,)(,)0(0,)(),(0,)()txxxtLWLWfxttxxxaWtxWtxaWtxWtxWxxWxx定解问题一般形式：求解步骤：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题12111122220,(0,)(,)(,)0(,)(,)0txxxLWLWtxxxWtxWtxWtxWtx固有函数为：Xn(x)(2)、令一般解为：(,)()()nnWxtTtXx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数系展开后通过比较系数得出Tn(t)的定解条件；(5)、求出Tn(t)。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n31齐次化原理14、齐次化原理求解232,(,)0,,ttLMRttfMt0,0)0,(,,00322tttuutRMMtfLutu..0,;tuWtMd如果(,;)WMt满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32齐次化原理20)0,(,,03tutRMMtfLutu,,,,,3MftRMLtt..0,;tuWtMd如果(,;)WMt满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n335、边界条件齐次化方法(1)、一般方法采用未知函数代换法：),(),(),(txWtxVtxu选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。(2)、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：(,)(,)()uxtVxtWx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n342222200022sincos,(0,0)3,643(1),sinxxLttuuaxxxlttxlluuxuuxltl解：令)(),(),(xWtxVtxu将其代入定解问题中得：例6求如下定解问题0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n352022()sincos03,6xxlaWxxxllWW2224()sin3132lxWxxall22222000,(0,0)043(1)(),xx