江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学初中数学教学论文证明两线互相垂直的常用方法

1证明两线互相垂直的常用方法垂直作为两条直线相交位置的一种特殊情况，在日常生活中为学生所熟悉。整个初中学了不少判定垂直的方法。现在归纳如下：一、利用定义垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。从定义可以看出，只要说明两条直线相交的角是直角，就可以说明两条直线互相垂直。例1：（兰州市2010年学业考试）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.求证：PC是⊙O的切线；分析：因为点C在圆上，只要说明OC⊥CP即可。解：∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线例2：（威海市2008中考）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90°，直接计算不出来，通过三角形全等，间接证明角度为90°。解：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°∴AF⊥BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．分析：题目同（1）类似，类比（1）思路，这里△ACD和△BCE显然不全等，考虑相似即可。解：AF⊥BE．∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，图1AFBCEDABDCE图2F2∴BCECACDC＝tan60°∴△DCA∽△ECB．∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°∴∠BFD=90°∴AF⊥BE．二、利用旋转性质根据旋转性质“旋转前、后的图形全等，对应线段旋转的角度等于旋转角”，如果旋转角是90°，那么对应线段旋转的角度就是90°。例3：已知：如图，在△ACD中分别以CA、CB为边向外作正方形CANM、正方形CBED，连接MB、AD，求证：MB⊥AD2NMDECBA分析：这里有两个正方形，故考虑MB绕点C逆时针旋转到AD.解：在正方形CANM、正方形CBED中，有CM=CA,∠MCA＝90°；CB=CD,∠BCD＝90°.故可看作：点M绕点C逆时针旋转90°到点A；点B绕点C逆时针旋转90°到点D；所以MB绕点C逆时针旋转90°到AD，由于旋转角为90°。所以：∠2=90°所以：MB⊥AD三、利用勾股定理逆定理勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222cba，那么这个三角形是直角三角形。这个逆定理从边的数量关系来判定直角三角形，从而有垂直出现。例4（山东枣庄2011学业考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线2yx向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()yxhk.所得抛物线与x轴交于AB、两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出hk、的值；3（2）判断ACD△的形状，并说明理由；解：（1）2()yxhk的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴1hk，=-4.（2）由（1）得2(1)4yx.当0y时，2(1)40x．解之，得1231xx，．∴(30)10AB，，(，).又当0x时，22(1)4(01)43yx，∴C点坐标为03，-.又抛物线顶点坐标14D，，作抛物线的对称轴1x交x轴于点E，DFy轴于点F．易知在RtAED△中，2222420AD；在RtAOC△中，2223318AC；在RtCFD△中，222112CD；∴222ACCDAD．∴△ACD是直角三角形．四、等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。如果所要证的垂直恰好是等腰三角形的顶角平分线或底边上的高，则由等腰三角形的三线合一可知它们垂直。例5（潍坊市2009年学业考试）在四边形ABCD中，ABBCDCBCABaDCbBCab⊥，⊥，，，，且ab≤．取AD的中点P，连结PBPC、．试判断三角形PBC的形状；ＡＤＣＢＯxyＡＤＣＢＯxyMFEGPDCBA4解：（1）延长BP、CD交于点E,由题意，AP=DP，AB∥CD∴∠ABP=∠E,，∠BAP=∠EDP∴△ABP≌△DEP∴BP=EP,ED=AB=a，∴EC=DC+DE=b+a又∵BC=a+b,∴EC=BC即：△ECB是等腰三角形。又BP=EP,即CP是等腰三角形△ECB底边上的中线。∴CP⊥BE即△PBC是直角三角形，又CD⊥BC，BP=PE∴BP=CP∴△PBC是等腰直角三角形，五、利用三角形的高线交于一点由三角形的高线性质可知：三角形的三条高交于一点。例6：（威海市2008中考）把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．分析：对于△ABE来说，BC是一条高，延长ED交AB于G，EG也是它的一条高，故D是△ABE高的交点。解：延长ED交AB于G,ABDCEF5∵∠DEC＝30°，∠CAB＝60°，∴∠AGE=90°∴EG是△ABE的一条高。又BC是△ABE的另一条高。∴D是△ABE高的交点。又AF经过点D，∴AF⊥BE在以上几种方法中，以利用定义和勾股定理逆定理最为常用，即从角的数量和边的数量考虑进行证明。