江苏省扬州中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学第1页(共6页)江苏省扬州中学2013－2014学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.不等式2－xx＋3＞0的解集为___________．2.若x＞0、y＞0，且x＋y＝1，则x·y的最大值为______．3.sin15º·sin30º·sin75º的值等于___________．4.在等差数列{an}中，a3＋a6＋3a7＝20，则2a7―a8的值为_________．5.函数y＝3sinx＋cosx，x∈[―π6，π6]的值域是_________．6.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为－12,13，则a－b＝________．7.函数y＝sinπ2＋xcosπ6－x的最小正周期为________．8.在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a12＝__________．9.在△ABC中，已知A＝45°，AB＝2，BC＝2，则C＝___________．10.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1＞0，S4＝S8，则当Sn取最大值时，n的值为____________．11.已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为_________．12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝(a＋1)n2＋a，某三角形三边之比为a2∶a3∶a4，则该三角形的最大角为________．13.若f(x)＝x＋ax－1在x≥3时有最小值4，则a＝_________．14.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且BC边上的高为a，则bc＋cb的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.(本题满分14分)已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边．（1）若△ABC面积为32，c＝2，A＝60º，求a，b的值；（2）若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论．高一数学第2页(共6页)16.(本题满分14分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋3sin2x＋2a（1）求函数f(x)的单调递增区间（2）当0≤x≤π4时，f(x)的最小值为0，求a的值．17.(本题满分14分)已知圆的内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，（1）求角A的大小；（2）求四边形ABCD的面积．18.(本题满分16分)已知{an}是公比为q的等比数列，且am、am+2、am+1成等差数列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm、Sm+2、Sm+1是否成等差数列？并说明理由．19.(本题满分16分)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？20.(本题满分16分)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn＝n·2n+3．（1）若{bn}的首项为4，公比为2，求数列{an＋bn}的前n项和Sn；（2）若a1＝8．①求数列{an}与{bn}的通项公式；②试探究：数列{bn}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N，r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．高一数学第3页(共6页)江苏省扬州中学2013－2014学年第二学期高一数学答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。）1．_____________2．____________3．____________4．____________5．_____________6．____________7．____________8．____________9．_____________10．___________11．___________12．___________13．____________14．___________二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．16．班级：______________________姓名：____________________学号：__________________高一数学第4页(共6页)17．18．19．20．（答案写在答题纸反面）高一数学第5页(共6页)高一数学期中试卷答案1、(－3,2)2、143、184、45、[0,3]6、－107、π8、169、30°10、611、2512、2π313、214、[2,5]15、解：（1）由已知得32＝12bcsinA＝bsin60º，∴b＝1．由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝3．（2）由正弦定理得2RsinA＝a，2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B，由已知A、B为三角形内角，∴A＋B＝90º或A＝B．∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．16、解：（Ⅰ）f(x)＝12cos2x＋32sin2x＋2a＝sin(2x＋π6)＋2a．由2k－π2≤2x＋π6≤2k＋π2，得k－π3≤x≤k＋π6（k∈Z）．所以，f(x)的单调递增区间为[k－π3,k＋π6]（k∈Z）．（Ⅱ）由0≤x≤π4，得π6≤2x＋π6≤23，故12≤sin(2x＋π6)≤1．由f(x)的最小值为0，得12＋2a＝0．解得a＝－14．17、解：四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD·sinA＋12BC·CD·sinC∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA．由余弦定理得：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝20－16cosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－12,又0º＜A＜180º,∴A＝120º，S＝16sin120º＝8318、解：（Ⅰ）依题意，得2am+2＝am+1＋am∴2a1qm+1＝a1qm＋a1qm–1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2＝q＋1，解得q＝1或－12．（Ⅱ）若q＝1，Sm＋Sm+1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm+2＝(m＋2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm＋Sm+1若q＝－12，Sm+2＝1－(－12)m+21－(－12)·a1＝23－16·(－12)m·a1Sm＋Sm+1＝1－(－12)m1－(－12)·a1＋1－(－12)m+11－(－12)·a1＝43－23·[(－12)m＋(－12)m+1]·a1＝43－13·(－12)m·a1∴2Sm+2＝Sm＋Sm+1故当q＝1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列；q＝－12时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列．19、解：（1）由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝3000x，由y＞6，解得x＜500，∴y＝3000x(6＜x＜500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，高一数学第6页(共6页)根据2a＋6＝y，得a＝y2－3＝1500x－3，∴S＝(2x－10)1500x－3＝3030－6x＋15000x，6＜x＜500.（2）S＝3030－6x＋15000x≤3030－26x·15000x＝3030－2×300＝2430，当且仅当6x＝15000x，即x＝50时等号成立，此时y＝60.所以，矩形场地x＝50m，y＝60m时，运动场的面积最大，最大面积是2430m2.20、解：（1）∵a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn＝n·2n+3∴a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋an－1bn－1＝(n－1)·2n+2(n≥2)两式相减得：anbn＝n·2n+3－(n－1)·2n+2＝(n＋1)·2n+2(n≥2)而当n＝1时，a1b1＝24适合上式，∴anbn＝(n＋1)·2n+2(n∈N*)∵{bn}是首项为4、公比为2的等比数列∴bn＝2n+1∴an＝2n＋2，∴{an＋bn}的前n项和Sn＝n(4＋2n＋2)2＋4(1－2n)1－2＝2n+2＋n2＋3n－4（2）①设an＝kn＋b，则bn＝(n＋1)·2n+2kn＋b，∴bn－1＝n·2n+1kn－k＋b(n≥2)设{bn}的公比为q，则bnbn－1＝2(n＋1)·(kn－k＋b)(kn＋b)n＝q对任意的n≥2恒成立，即k(2－q)n2＋b(2－q)n＋2(b－k)＝0对任意的n≥2恒成立，∴k(2－q)＝0b(2－q)＝02(b－k)＝0∴k＝bq＝2又∵a1＝8，∴k＋b＝8∴k＝b＝4，∴an＝4n＋4，bn＝2n②假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它r项1212,,,()rtttrbbbttt的和，即12rktttbbbb，从而122222rtttk，易知k≥tr＋111121232(12)2222222222212rttrrrrtttttk∴k＜tr＋1，此与k≥tr＋1矛盾，从而这样的项不存在．