江苏省海安高级中学等三校2013届下学期高三联合考试(数学)

第1页共3页江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2013届高三联合考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝▲．2．已知x是实数，x＋i1－i是纯虚数，则x的值是▲．3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数n的值为5时，输出的an的值是▲．4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率是▲．5．如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分，则该运动员的平均得分为▲．6．不等式lg(－x)＜x＋1的解集为▲．7．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为▲m2．8．在等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn．若数列{Sn＋12}也是等比数列，则Sn等于▲．9．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1，若f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线y＝f(x)的切线中，斜率最小的切线方程是▲．10．若tan＝3tan，且0≤＜＜π2，则－的最大值为▲．0910552831（第5题）开始输入nn≤4an←n2NY输出an结束（第3题）an←2n注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求4．本试卷共3页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。5．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。6．作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。第2页共3页11．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若AB→＝12BC→，则双曲线的离心率是▲．12．△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连结BD，设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为▲．13．在△ABC中，若a＝2，b－c＝1，△ABC的面积为3，则→AB·→AC＝▲．14．已知使函数f(x)＝x3－ax2－1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数a恰有3个，则M0的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝3sinx4cosx4＋cos2x4．（1）若f(x)＝1，求cos(2π3－x)的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋12c＝b，求f(B)的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为⌒AC的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：（1）平面ABE⊥平面ACDE；（2）平面OFD∥平面BAE．17．（本小题满分14分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转(0＜＜π2)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A′FE＝；②对任意(0＜＜π2)，△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．（1）设A′E＝x，将x表示为的函数；（2）试确定，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．FEOACBD（第12题）ABCDELKJIHGFEC'D'A'B'OADBC第3页共3页18．（本小题满分16分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝32，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为255．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为12的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.19．（本小题满分16分）设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a5＝6．（1）当a3＝3时，请在数列{an}中找一项am(m＞5)，使a3，a5，am成等比数列；（2）当a3＞1时，如果存在自然数m1，m2，…，mt，…，满足5＜m1＜m2＜…＜mt＜…，且a3，a5，am1，am2，…，amt，…构成一个等比数列，求a3的一切可能值；（3）在（2）中的a3取最小正整数值时，求证：t=1n3t+1mtmt＋1＜122．20．（本小题满分16分）设f(x)是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]任意划分成n个小区间，若存在常数M，使i=1n|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，则称f(x)为[a，b]上的有界变差函数．（1）判断函数f(x)＝x＋cosx在[－，]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a，b]上的单调函数f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a，b]上的函数f(x)满足：存在常数k，使得对于任意的x1，x2[a，b]，|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．MxyTGPONA1A2B1B2F1F2第1页共2页江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上方，连结AC交半圆O于点D，过点C作线段AB的垂线CE，垂足为E．求证：B，C，D，E四点共圆．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝1234，N＝0－113．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设O为极点，点P为直线cos＝1与圆＝2sin的切点，求OP的长．D．选修4—5：不等式选讲AEBCDO·（第21－A题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。第2页共2页已知：a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9．求证：14a＋118b＋1108c≥19．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为23，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X为本场比赛的局数，求X的概率分布和数学期望．23．设P1，P2，…，Pj为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数．（1）求a22的值；（2）求aij的表达式．第1页共6页江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{x|0≤x＜1}2．13．324．165．186．{x|－1＜x＜0}7．338．3n－129．12x＋y－8＝010．π611．512．3－5213．13414．[269，6316)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）f(x)＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sin(x2＋π6)＋12．…………………3分由f(x)＝1，可得sin(x2＋π6)＝12，解法一：令＝x2＋π6，则x＝2－π3．cos(2π3－x)＝cos(－2)＝－cos2＝2sin2－1＝－12．…………………6分解法二：x2＋π6＝2k＋π6，或x2＋π6＝2k＋5π6，kZ．所以x＝4k，或x＝4k＋4π3，kZ．当x＝4k，kZ时，cos(2π3－x)＝cos2π3＝－12；第2页共6页当x＝4k＋4π3，kZ时，cos(2π3－x)＝cos(－2π3)＝－12；所以cos(2π3－x)＝－12．…………………6分（2）解法一：由acosC＋12c＝b，得a·a2＋b2－c22ab＋12c＝b,即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12．因为A(0，)，所以A＝π3，B＋C＝2π3．…………………10分所以0＜B＜2π3，所以π6＜B2＋π6＜π2，所以f(x)＝sin(B2＋π6)＋12(1，32)．…………………14分解法二：由acosC＋12c＝b，得sinAcosC＋12sinC＝sinB．因为在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋12sinC＝sin(A＋C)，sinAcosC＋12sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以12sinC＝cosAsinC，又因为sinC≠0，所以cosA＝12．因为A(0，)，所以A＝π3，B＋C＝2π3．…………………10分所以0＜B＜2π3，所以π6＜B2＋π6＜π2，所以f(x)＝sin(B2＋π6)＋12(1，32)．…………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AB平面ABC，又在半圆O中，AB⊥AC．所以AB⊥平面ACDE．因为AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACDE．…………………6分第3页共6页（2）设线段AC与OF交于点M，连结MD．因为F为⌒AC的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点．因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB．又OF平面BAE，AB平面ABE，所以OF∥平面BAE．…………………8分因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC＝2DE，所以DE∥AM，且DE＝AM．所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE．又DM平面BAE，AE平面ABE，所以DM∥平面BAE．…………………11分又OF∥平面BAE，MD∩OF＝M，MD平面OFD，OF平面OFD，所以