数理统计茆诗松第二章自测题

统计学院数理统计自测题第二章自测题第1页共8页2015-4《数理统计》第二章自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每题2分，共10分）得分1．设总体X服从参数为的泊松分布，X1,X2,…,Xn是取自X的随机样本，其均值和方差分别为X和2S，如果2ˆ(23)aXaS是的无偏估计，则a=。2．设总体X的密度函数为，，xxexfx,0,),()(，nXXX,,,21为来自该总体的一个简单随机样本，则参数的矩估计量为。3．已知1ˆ,2ˆ为未知参数的两个无偏估计，且1ˆ与2ˆ不相关，12ˆˆ()4()DD。如果312ˆˆˆab也是的无偏估计，且是1ˆ,2ˆ的所有同类型线性组合中方差最小的，则a=，b=。4．设X是在一次随机试验中事件A发生的次数，进行了n次试验得一组样本X1,X2,…,Xn，其中事件A发生了k次，则事件A发生的概率为p，𝑝2的最大似然估计为；p(1-p)的矩估计为。5.设总体X~N(μ,𝜎2),μ,𝜎2均为未知参数，𝑋1,𝑋2，⋯𝑋𝑛（n≥3）为来自总体X的一个样本,当用2𝑋̅−𝑋1，𝑋̅及0.2𝑋1+0.3𝑋2+0.5𝑋3作为μ的估计时，最有效的是。二、选择题：（每题3分，共24分）得分1.设总体X服从[a,b](ab)上的均匀分布，a、b均为未知参数，𝑋1,𝑋2，⋯𝑋𝑛为来自总体X的一个样本，则𝑎2与𝑏2的最大似然估计量为()（A）𝑎̂2=[max1≤𝑖≤𝑛𝑋𝑖]2,𝑏̂2=[min1≤𝑖≤𝑛𝑋𝑖]2（B）𝑎̂2=[min1≤𝑖≤𝑛𝑋𝑖]2,𝑏̂2=[max1≤𝑖≤𝑛𝑋𝑖]2（C）𝑎̂2=[𝑋̅−S]2,𝑏̂2=[𝑋̅+S]2（D）𝑎̂2=[𝑋̅+S]2,𝑏̂2=[𝑋̅−S]22．设总体X的概率分布为X0123PP22(1)212其中(01/2)是未知参数，从总体X中抽取容量为8的一组样本，其样本值为3，1，3，0，3，1，2，3，则参数的矩估计值为()。(A)1/3；(B)1/4；(C)1/2；(D)1/8。3.设1ˆ和2ˆ是总体参数的两个估计量，说1ˆ比2ˆ更有效，是指()。(A)2121,)ˆ()ˆ(且EE；(B))ˆ()ˆ(21EE；(C))ˆ()ˆ(21DD；(D))ˆ()ˆ(,)ˆ()ˆ(2121DDEE且。统计学院数理统计自测题第二章自测题及答案第2页共8页2015-44.设nXXX,,,21是来自总体X的样本，D(X)=σ2，，𝑋̅和niinXXS1221)(，分别为样本均值和样本方差，则（）。（A）S是σ的无偏估计（B）S是σ的最大似然估计(C)S是σ的相合估计（D）S与𝑋̅相互独立5.设𝑌𝑛同时满足lim𝑛→∞𝐸[𝑌𝑛]=θ,lim𝑛→∞𝐷[𝑌𝑛]=0,则下列结论正确的是（A）Y𝑛是θ的有效估计量（B）Y𝑛是θ的无偏估计量（C）Y𝑛是θ的相合估计量(D)A和C同时正确6.设nXXX,,,21是来自总体X的样本，E(X)=μ，D(X)=σ2，则可以作为σ2的无偏估计量的是()。(A)当μ为已知时，niinX12)(；(B)当μ为已知时，niinX121)(；(C)当μ为未知时，niinX12)(；(D)当μ为未知时，niinX121)(。7．设ˆ是参数的无偏估计量，且0)ˆ(D，则2ˆ|()是2的无偏估计量。(A)一定；(B)不一定；(C)一定不；(D)可能。8.设用普通的最小二乘方法去估计线性模型，E[X]=Mθ,要使得参数估计为最好线性无偏估计需要满足（）(A)M列满秩，Var(X)=𝜎2V(V对称的正定阵)（B）Var(X)=𝜎2𝐼(I单位矩阵)（C）M列满秩，Var(X)=𝜎2𝐼(I单位矩阵)（D）（A）和（C）都对三、判断题：（每题1.5分，共15分）得分1.()设总体X~N(,2)，,2均未知，X1,X2,…,Xn是来自X的样本，则niinXXS122)(是2的UMVUE。2.()未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。3.()对C-R正则族，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。4.()用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。5.()用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。6.()未知参数的无偏估计为相合估计。7.()费希尔信息量总是存在的。8.()对C-R正则族，无偏估计的方差下界可以任意小。9.()参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数。10.()在贝叶斯统计中，对给定的总体，参数是随机的；参数估计由先验信息决定。统计学院数理统计自测题第二章自测题及答案第3页共8页2015-4四、计算题（共51分）1．(8分)设总体X的概率密度函数为36(),0,(,)0,xxxfx其它,其中参数0未知，设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，求的矩估计量ˆ，计算ˆ的方差ˆ()D，并讨论ˆ的无偏性。得分2．(12分)设总体X的概率密度为2()2,,(;)0,,xexfxx其中参数0为未知，从总体中抽取样本X1,X2,…,Xn，其样本观察值为x1,x2,…,xn，(1)求参数的最大似然估计；(2)讨论是否具有无偏性；(3)若不是的无偏估计量，修正它，并由此指出的一个无偏量估计。(4)讨论是否具有相合性；得分3．(6分)一个人重复的向同一目标射击，设他每次击中目标的概率为p，射击直至命中目标为止。此人进行了n(n1)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为x1,x2,…,xn，试求命中率p的矩估计值和最大似然估计值。得分4.(11)设X1,X2,…,Xn是来自Ga(α,λ)的样本，α0已知，其密度函数为;.0,)(),;(1xexxpx试求参数1𝜆的UMVUE，并判断是否为有效估计。5.(8)设总体为均匀分布U(θ,θ+1),θ的先验分布为均匀分布U（10,16），现有三个观测值：11.7,12.1,12.（1）求θ的后验分布（2）求贝叶斯估计以及方差。6.(6)对线性模型IXVarMEX2)(，其中M为列满秩阵，I为单位矩阵，使用普通最小二乘方法计算参数的估计以及方差，并判断最小二乘估计是否是无偏的?统计学院数理统计自测题第二章自测题及答案第4页共8页2015-4《数理统计》第二章自测题参考答案一、填空题：1．12；2.1X；3.a=0.2，b＝0.8；4.(𝑘/𝑛)2，(k/n)(1−k/n)；5.𝑋̅【提示】1．因为()()EXDX，故2()()EXES，又ˆ()E，即2((23))(23)EaXaSaa，解得12a。3．由题意a，b应使得3ˆ()E且3ˆ()D达到最小。已知12ˆˆ()()EE，12ˆˆov(,)0C，312ˆˆˆ()()()()EaEbEab1ab，1ba，222223121212ˆˆˆˆˆˆˆ()()()2cov(,)(4(1))()(521)()DaDbDaaDaaD令2()521faaa，求f（a）的最小值点为a=0.2，则b＝0.8。4．因为X服从两点分布，则E(X)=p，矩估计值11ˆniikpXnn，代入p(1-p)可得其矩估计。设(x1,x2,…,xn)是X的一组样本观察值，则p的似然函数为1111()(1)(1)(1)nniiiiiinxnxxxknkiLppppppp，两边取自然对数为ln()ln()ln(1)Lpkpnkp，令ln()0dLpdp，得似然估计值为ˆkpn，由最大似然估计的不变性，可得𝑝2的最大似然估计为(𝑘/𝑛)2）5.D(2𝑋̅−𝑋1)=𝜎2,𝐷𝑋̅=𝜎2𝑛;D(0.2𝑋1+0.3𝑋2+0.5𝑋3)=1950𝜎2.二、选择题：1.(B)；2.(B)；3.(D)；4.（C）；5.（C）6.(A)；7.(C)；8.（C）【提示】1.易得a和b的最大似然估计分别为𝑎̂2=min1≤𝑖≤𝑛𝑋𝑖,𝑏̂2=[max1≤𝑖≤𝑛𝑋𝑖]，再由最大似然估计的不变性可得。2．E(X)=3－4，故3ˆ4X。代入样本均值的观察值2x，得1ˆ4。4.S2是𝜎2的无偏估计，但S不是σ的无偏估计；(n-1)/nS2是𝜎2的最大似然估计，所以√(n−1)/n𝑆是σ的最大似然估计；统计学院数理统计自测题第二章自测题及答案第5页共8页2015-4只有当总体是正态分布时，才有S与𝑋̅相互独立。6.2221121)(1)(1nnXEnXnEininii。7.2222ˆˆˆˆEDED。三、判断题：1．；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；【提示】3.对C-R正则族，有效估计一定是一致最小方差无偏估计，但反过来，由于UMVUE的方差不一定能达到C-R下界，所以UMVUE不一定是有效估计。4.设X1,X2,…,Xn为来自总体(,1)U的一个样本，其中参数未知，似然函数为1211,,,,1,()(;)0,nniixxxLfx其他,要使()1L，须满足11min,max1iiininxx，所以，11max1miniiininxx，即满足1211max1(,,,)mininiininXgXXXX的统计量12(,,,)ngXXX都是的最大似然估计量。10.贝叶斯统计中，参数确实是随机的，但是参数值也是由先验信息和样本信息同时决定的。四、计算题1．【解】因为2306()(),2xxEXdx所以ˆ2X，的矩估计量为ˆ2X。4()ˆ()4()DXDDXn。因为322306()3()10xxEXdx，所以222()()(())20DXEXEX，2ˆ()5Dn，又ˆ()2()EEX，所以是无偏的。2．【解】(1)似然函数为2()12112,,,,,()(;)0,inxnniiiexxxLfx其他,当x1,x2,…,xn时，L()0，取对数，得统计学院数理统计自测题第二章自测题及答案第6页共8页2015-41ln()ln222niiLnxn,因为ln()20dLnd，以L()单调增加，因此越大，L()越大，但x1,x2,…,xn，故取的最大似然估计值为12ˆmin(,,,)nxxx，于是的最大似然估计量为12ˆmin(X,X,,X)n。(2)设总体X的分布函数为2()1,,F()()0,,xxexxftdtxminXF()1(1F(())nzz2()1,,0,,nzezz2()minmin2,,()F()0,,nznezfzzz因为2()ˆ01ˆE()()22nzzfzdznzedxn，所以不是的无偏估计量。(3)取12n，则11E()E()E()22nn，于是即是的无偏估计量。(4)由于E[𝜃̂2]=∫𝑧22𝑛𝑒−2𝑛(𝑧−𝜃)𝑑𝑧∞𝜃=∫(𝑡2+2𝑡+1)2𝑛𝑒−2𝑛𝑡)𝑑𝑡∞0=1𝑛2+𝜃𝑛+𝜃2,所以D(𝜃̂)