D3-5高阶导数(二)习题课

一、高阶导数的运算法则第五节二、习题课机动目录上页下页返回结束高阶导数(二)第三章一、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)!2)1(nn!)1()1(kknnn莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束例7.求解:设,,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe219220x2!219202xe2182)20,,2,1(k)20,,3(k机动目录上页下页返回结束例8.设求解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求n阶导数)1(2xx22令得由得)0()12(my)0(!)2()1(ymm0)0()2(my12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由得!)2()1()0()12(mymm机动目录上页下页返回结束参数方程高阶导22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt3xyxxy))()((ddttttxdd二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.机动目录上页下页返回结束xtxytdd)dd(dd?例4.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xyddxy)()()(tftfttf)(tf,t22ddxy已知解:)()(tftfty注意:机动目录上页下页返回结束)(ddtxxtttdd)(ddtxdd11.)(1tf)()(tftft例9.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得0yxyyey再求导,得2yeyyxey)(02y②当0x时,,1y故由①得ey1)0(再代入②得21)0(ey求机动目录上页下页返回结束①2yey0yxyyeyy例10.设f二次可微且由隐函数方程解:方程两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束确定，求解得思考与练习1)()1(!)1(2nnnxny3,)1(!1)(nxnynn1.如何求下列函数的n阶导数?xxy11)1(xxy1)2(3解:解:机动目录上页下页返回结束2312xxy1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1xBxAxx提示:令)2(xA原式2x)1(xB原式1x11机动目录上页下页返回结束xxy66cossin)4(xxxx4224coscossinsinx2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22baba)4cos(2nx22cos1sin2解:机动目录上页下页返回结束1)]([!nxfn2.(填空题)(1)设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf16cos)1(2xxn16cos)1(2xxn提示:各项均含因子(x–2)nx)2(!n22!n(2)已知)(xf任意阶可导,且2n时)()(xfn提示:,)]([)(2xfxf则当)(xf)()(2xfxf3)]([!2xf)(xf)()]([3!22xfxf4)]([!3xf机动目录上页下页返回结束3.试从导出解：yxyyxdddddd22y1xddyxddy1同样可求33ddyx第四节目录上页下页返回结束解:设求其中f二阶可导.补充题机动目录上页下页返回结束一、导数和微分的概念及应用•导数:当时,为右导数当时,为左导数•微分:机动目录上页下页返回结束•关系:可导可微习题课──导数和微分•应用:(1)利用导数定义解决的问题(3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.机动目录上页下页返回结束例1.设)(0xf存在,求.)())((lim0200xxfxxxfx解:原式=xxfxxxfx)]())([(lim0200])([2xx2)(xx)(0xf机动目录上页下页返回结束例2.若0)1(f且)1(f存在,求.tan)1()cos(sinlim20xexxfxx解:原式=220)cos(sinlimxxxfx且联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f机动目录上页下页返回结束例3.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f解:)2(f)(lim2xfx])2()()2[(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3机动目录上页下页返回结束例4.设试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求解:)(xf1x,bxa1x,)1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf)1()1()1(fff)1()1(ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1)1(21ba2a机动目录上页下页返回结束,1,2ba2)1(f1,21,2)(xxxxf是否为连续函数?判别:机动目录上页下页返回结束)(xf1x,bxa1x,)1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)(设解:又例5.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.0)0(f机动目录上页下页返回结束二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动目录上页下页返回结束例6.设其中可微,解:yd)d(sinsinxxee)d(sinsinxxee)d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeeexexexxd)sin(cossinxxeecos机动目录上页下页返回结束例7.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.)(xf解:由题设)0(f存在,因此1)利用在连续,即,)0()0()0(fff得)0(gc2)利用,)0()0(ff0)0()(lim)0(0xgxgfx)0(g0)0()(lim)0(20xgcbxxafxb而得0,2xcbxax0,)(xxg机动目录上页下页返回结束)0(gb3)利用,)0()0(ff0)0()(lim)0(0xgxgfx)0(g0)2(lim)0(0xbbxafxa2而得)0(21ga)0(gc)(xf0,2xcbxax0,)(xxg机动目录上页下页返回结束例8.设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求解:方程组两边对t求导,得txddt2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22ttyddycostydd0)1(2ttyddtxdd机动目录上页下页返回结束22ddxy)(ddddxyttxdd)()cos1)(1(ddyttt)1(2tyttysin)1()cos1(23)cos1()1(2yttyddyttysin)1(2)cos1(2233)cos1()1(2yt机动目录上页下页返回结束)cos1)(1(yt23)cos1()1(2ytyttycos12dd)cos1[(yt]ddsin)1(tyyt