(整理)傅立叶变换与拉普拉斯变换

--------------------------附录A傅里叶变换1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS狄立赫雷条件：在同一个周期1T内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积dttfT1)(。傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集}:sin,cos,1{11Nntntn或复指数函数集}:{1Znetjn，函数周期为T1，角频率为11122Tf。任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。傅里叶级数：1110)sin()(nnntnbtconaatf系数na和nb统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。称11111/()fTf为信号的基波、基频；1(,2~)infin为信号的n次谐波。根据欧拉公式：cos,sin22intintintinteeeentnti复指数形式的傅里叶级数：ntjnneFtf1)((1)周期信号的傅里叶频谱：(i)称nF为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称nF为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称n为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率1n(或频率1nf)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1)信号f(t)的傅里叶变换：)()()(tfFdtetfFtj是信号)(tf的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。(2)频谱密度函数)(F的逆傅里叶变换为：)(ˆ)(21)(1FFdeFtftj(3)称tje为FT的变换核函数，tje为IFT的变换核函数。(4)FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。(5)FT具有可逆性。如果)()(FtfF，则必有)()(1tfFF；反之亦然。(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(jeFF--------------------------(i)称)(F为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；(ii)称)()(FArg为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7)FT频谱可分解为实部和虚部：)()()(irjFFF)()(arctan)(,)()()(22riirFFFFF)(sin)()(,)(cos)()(FFFFir(8)FT存在的充分条件：时域信号)(tf绝对可积，即dttf)(。注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(2)FT及IFT在赫兹域的定义：dtetffFftj2)()(；dfefFtfftj2)()((3)比较FS和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱(1)单边指数信号：|F()|1/a()/2-/200t01f(t)(a)(b)(c)图1(a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱(2)偶双边指数信号：)0()(aetftaF()2/a0t01f(t)(a)(b)图2(a)偶双边指数信号(b)频谱(3)矩形脉冲信号--------------------------F()E=矩形脉冲面积0246-/20/2tf(t)=)(tEGE(a)(b)图3(a)矩形脉冲信号(b)频谱(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。|F()|-aa(b)Sgn(t)10t-1(a)图5(a)符号函数(b)频谱(5)阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT|F()|()0u(t)10t图6单位阶跃函数及其幅度谱附录B拉普拉斯变换及反变换一．拉普拉斯变换及逆变换定义式：设有一时间函数f(t)[0,∞]或0≤t≤∞单边函数)s(Ftde)t(fts0其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为--------------------------tdettfSFts0))()(（其中积分下标取0-而不是0或0+，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。拉普拉斯反变换：SdeSFtjtfjjtS)()(21)(这是复变函数的积分拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(S)=L[f(t)]；f(t)=L-1[F(s)]拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性)()]([saFtafL叠加性)()()]()([2121sFsFtftfL2微分定理一般形式11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（初始条件为零时)(])([sFsdttfdLnnn3积分定理一般形式0200222011[()]()[()][()][()()]()[()()]()1[()()][()()]tttnnnntnnkkftdtFsLftdtssftdtftdtFsLftdtsssFsLftdtftdtss共个共k个初始条件为零时nnnssFdttfL)(]))(([个共4延迟定理（或称t域平移定理）)()](1)([sFeTtTtfLTs5衰减定理（或称s域平移定理）)(])([asFetfLat--------------------------6终值定理)(lim)(lim0ssFtfst7初值定理)(lim)(lim0ssFtfst8卷积定理12121200[()()][()()]()()ttLftfdLftftdFsFs常用函数的拉氏变换和z变换表序号拉氏变换()Es时间函数()etZ变换()Es11δ(t)12Tse110)()(nTnTtt1zz3s1)(1t1zz421st2)1(zTz531s22t32)1(2)1(zzzT611ns!ntn)(!)1(lim0aTnnnaezzan7as1ateaTezz82)(1asatte2)(aTaTezTze922stsin2sin2cos1zTzzT1022sstcos2(cos)2cos1zzTzzT二．拉普拉斯反变换的应用用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(sF是s的有理真分式，即01110111)()()(asasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm（mn）式中，系数nnaaaa,,...,,110和011,,,,mmbbbb都是实常数；nm,是正整数。按代数定理可将)(sF展开为部分分式。分以下两种情况讨论。（1）0)(sA无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，--------------------------即niiinniisscsscsscsscsscsF12211)(（F-1）式中，nsss,,,21是特征方程A(s)＝0的根；ic为待定常数，称为()Fs在is处的留数，可按下列两式计算：lim()()iiisscssFs（F-2）或issisAsBc)()(（F-3）式中，)(sA为)(sA对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为niiisscLsFLtf111)()(＝1instiice(F-4)（2）0)(sA有重根：设0)(sA有r重根1s，F(s)可写为)()()()(11nrrsssssssBsF=nniirrrrrrsscsscsscsscsscssc11111111)()()(式中，1s为F(s)的r重根，1rs，…，ns为F(s)的nr个单根；其中，1rc，…，nc仍按式(F-2)或式(F-3)计算，rc，1rc，…，1c则按下式计算：)()(lim11sFsscrssr11lim[()()]irrssdcssFsds)()(lim!11)()(1sFssdsdjcrjjssjr(F-5))()(lim)!1(11)1()1(11sFssdsdrcrrrss原函数)(tf为)()(1sFLtfnniirrrrrrsscsscsscsscsscsscL111111111)()()(tsnriitsrrrriecectctrctrc1122111)!2()!1(（F-6）用拉普拉斯变换解微分方程：--------------------------例1求解常微分方程336txxxxe，(0)(0)(0)0xxx.解：令()[()]Xslxt，在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件，得326()3()3()()1sXssXssXsXss，求解此方程得43!()(1)Xss，求Laplace逆变换，得11343!()[()](1)txtlXsltes.例2求解常微分方程43txxxe，(0)(0)1xx.解：令()[()]Xslxt，在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件，得21()14()13()1sXsssXsXss，求解此方程得2266()(1)(3)ssXsss27734(1)2(1)4(3)sss，求Laplace逆变换，得3713()424ttxttee.例3求解常微分方程组2312,(0),(0),2212,(0)1,(0).2txxyexxxyytyy解：()[()],()[()]XslxtYslyt，在方程组两边取Laplace变换，并应用初始条件得223311()()2()2,221312()()2(),22sXssXssYsssXssYssYss求解得2332(),2(1)113(),2(1)2XsssYssss取Laplace逆变换得原方程组的解为23()2,2113().222ttxtetytet--------------------------