江苏省南京市六校联合体2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷

南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）2018.6参考公式：方差2211()niisxxn一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．.1．设i为虚数单位，复数2izi，则z的模||z▲.2．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为▲.3．命题“若0a，则复数(,)zabiabR为纯虚数”的逆命题．．．是▲命题.（填“真”或“假”）4．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为▲.5．将一颗骰子抛掷两次，用m表示向上点数之和，则10m的概率为▲.6．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为▲.7．函数()yfx在点(1,)Pm处切线方程为60xy，则(1)(1)ff=▲.8．若21(2)nxx的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是▲.9．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为▲.10．若2624101201256(2)xaaxaxaxax，则0246aaaa=▲.11．已知m∈R，设命题P：2,10xRmxmx；命题Q：函数32()31fxxxm只有一个零点.则使“PQ”为假命题的实数m的取值范围为▲.12．有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有▲种不同的选法.13．观察下列等式：请你归纳出一般性结论▲.14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)pp,甲赢得比赛的概率是q,则qp的最大值为▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2sin，直线l的参数方程是12,1xtyt(t为参数)．求直线l被曲线C截得的弦长.16.（本小题满分14分）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.17.（本小题满分14分）已知23*012312nnnxaaxaxaxaxnN，（1）求3122312222nnnaaaas的值;（2）若87aa且89aa，求n的值;（3）求证：20181(1)71000.18.（本小题满分16分）某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;（2）求随机变量的分布列和数学期望．19.（本小题满分16分）已知函数322()fxxmxm（1）若()fx在区间[1,)上是单调递增函数，求实数m的取值范围;（2）若()()gxfxnx在1x处有极值10，求mn的值;（3）若对任意的12,[1,1]xx，有12|()()|2fxfx恒成立，求实数m的取值范围.20.（本小题满分16分）把圆分成(3)nn个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有()fn种方法.(1)写出(3)f，(4)f的值；(2)猜想()fn(3)n，并用数学归纳法证明。南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）参考答案一、填空题1.52.15.3.真4.25.166.9007.48.2409.4810.36511.45m12.13613.222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)kkkkkkkz14.318二、解答题15.曲线C的直角坐标方程是22(1)1xy…………4分直线l的普通方程是230xy…………………8分圆心C到直线l的距离55d……………………11分弦长为455…………………………………………14分16.解(1以1,,DADCDD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．则A(1，0，0)，11022O，，，010C，，，D1(0，0，1)，E111442，，，于是111442DE，，，1011CD，，.由cos1DECD，＝11||||DECDDECD＝36.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为36.………6分（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·CO＝0，m·1CD＝0得1111110220xyyz，，取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，则E12(1)2(1)1，，，DE=12(1)2(1)1，，.10分又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·CD＝0，n·DE＝0.得2222002(1)2(1)1yxyz，，取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．……14分17（1）令12x，则31202312222nnnaaaaa=0，又01a所以1S………………………………………………………………4分（2）由887788992222nnnnCCCC，解得11252nn，所以12n………………9分（3）20181(1)10002341234201820182018201811114211227100010001000100033CCCC………………………………………………………………14分18．⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为211p、312p、316p，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件A．则1212122()(1)(1)3PApppppp；答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23………………………………6分(2)由题意可知，的可能取值为0、3、6、7、10，31)1)(1()0(21ppP，123123555(3)(1)(1)(1)(1)183612Ppppppp，1235(6)(1)36Pppp，123123211(7)(1)(1)363612Ppppppp，1231(10)36Pppp，所以的分布列为036710………………………………………………14分所以的数学期望155115303671031236123618E…………………16分19解：(1)f＇(x)=3x2+2mx，由f(x)在区间[1，+∞)上是单调递增函数得，当x≥1时，3x2+2mx≥0恒成立，即m≥－32x恒成立，解得m≥－32；………………………………4分（2）2()32gxxmxn，由题(1)03(1)103gmgn或411mn当33mn时，()0gx，()gx无极值，舍去.所以7mn…………………………8分（没有舍扣2分）（3）由对任意的x1，x2∈[－1，1]，有|f(x1)－f(x2)|≤2恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤2．且|f(1)－f(0)|≤2，|f(－1)－f(0)|≤2，解得m∈[－1，1]，…………10分①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，fmax(x)－fmin(x)=|f(1)－f(－1)|≤2成立．……………………………11分②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－23m，0)，则f(x)在(－23m，0)上单调递减；同理f(x)在(－1，－23m)，(0，1)上单调递增，f(－23m)=427m3+m2，f(1)=m2+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(－23m)－f(1)=427m3－m－1，m∈[0，1]，h＇(m)=49m2－1＜0，则h(m)在(0，1]上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，故f(－23m)＜f(1)，又f(－1)=m－1+m2≤m2=f(0)，仅当m=1时取等号.所以fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=2成立．③同理当m∈[－1，0)时，fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=2成立．综上得m∈[－1，1]．…………………………16分20.解：（1）(3)24,(4)84ff…………2+4=6分p31512536112136（2）．当4n时，首先，对于第1个扇形1a，有4种不同的染法，由于第2个扇形2a的颜色与1a的颜色不同，所以，对于2a有3种不同的染法，类似地，对扇形3a，…，1na均有3种染法．对于扇形na，用与1na不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形1a颜色相同的情况，而扇形1a与扇形na颜色相同的不同染色方法数就是(1)fn，于是可得1()43(1)nfnfn…………………………10分猜想()3(1)3nnfn…………………………12分①当3n时，左边(3)24f，右边333(1)324，所以等式成立②假设(3)nkk时，()3(1)3kkfk，则1nk时，(1)43()433(1)3kkkkfkfk113(1)3kk即1nk时，等式也成立综上()3(1)3nnfn(3)n…………………………16分