高中数学必修1知识点总结

集合与函数概念集合集合的基本关系含义集合的运算函数函数的概念函数的基本性质映射映射的概念集合中元素的性质：确定性；互异性；无序性元素与集合的关系：属于，不属于;不含任何元素的集合空集：A是B的子集：集合间的关系：包含关系ABBA或真子集：,,,ABxBxAAB且存在元素但是的真子集ABBA或空集是任意集合的子集ABBA且ABABABABAB1.写出常用数集的符号整数集：自然数集：有理数集：正整数集：实数集：2.用适当的符号填空___{,1}aa{0}___N0___N___Q3___Z2___{|430}xx集合的运算：并集交集补集ð{|}ABxxAxB或{|}ABxxAxB且{|}UAxxUxA且ð函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.两个函数相等：（1）定义域相同（2）对应关系一样函数的基本性质（1）单调性设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在区间D上12,xx12xx12()()fxfx是增函数如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在区间D上是减函数12,xx12xx12()()fxfx（2）奇偶性偶函数（1）定义域关于原点对称；（2）图像关于y轴对称；（3）f(-x)=f(x)奇函数（1）定义域关于原点对称；（2）图像关于y轴对称；（3）f(-x)=f(x)（3）最值最大值（图像最高点的纵坐标）最小值（图像最低点的纵坐标）1.在定义域内任取x1，x2，且x1x2；2.判断的正负；3.下结论主要步骤证明函数单调性的步骤2121()()fxfxxx映射的概念设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射一对一或多对一，不能一对多基本初等函数指数对数指数函数对数函数定义图像与性质定义图像与性质幂函数反函数根式若，那么x叫做的n次方根，nxaa(1,)nn且Nna记作注意：（n为根指数，叫做被开方数）a负数没有偶次方根；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；任意数的奇次方根只有一个；0的任何次方根为0，00n()nnaa,0nnanaanaaa为奇数为偶数分数指数幂正数的分数指数幂(0,,,1mnmnaaamnN且n）正数的正分数指数幂正数的负分数指数幂1(0,,,1mnmnaamnNa且n）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义运算规律(0,,rsrsaaaarsQ）()(0,,rsrsaaarsQ）()(0,0,rrrabababrQ）对数若则(0,1)aa且xaNlogaxN注意：负数和零没有对数aN叫做对数的底数，叫做真数（2）01loga即：1的对数是0对数恒等式：logaNaNlognaan．(0,1)aa且(0,1)aa且N0（3）1aalog即：底数的对数是1常用对数自然对数lg(10N以为底数）ln(N以e为底数）运算规律如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：(1)loglog)(logNMMNaaa(2)logloglogNMNMaaa(3))(loglogRnMnManacaclogblogbloga(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)换底公式指数函数需注意三点：（1）底数：大于0且不等于1的常数（2）指数：自变量x（3）幂系数：1xayxR形如的函数叫做指数函数，为自变量，定义域为其中指数为自变量幂为函数底数为常数,a(0)a1且Oxy(0,1)y=1xayOxy(0,1)y=1xay定义域：值域：奇偶性：在R上是增函数在R上是减函数单调性：R),0(非奇非偶函数过点（0，1)即x=0时，y=1x0时，y1;x0时,0y1x0时，0y1;x0时,y11a10a图象性质定义域：R值域：),0(奇偶性：非奇非偶函数过点(0，1)即x=0时，y=1单调性：01xyxy2xy21xy3xy311xY轴右侧:底大图高当x0时，abc0,则xxxabcY轴左侧:底小图高当x0时，0abc,则xxxabc底互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称对数函数：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．log(01)ayxaa且5log5xy注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：,，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．xy2log2②对数函数对底数的限制：a0且a≠1图象a10a1性质对数函数y=logax(a0,a≠1)(4)0x1时,y0;x1时,y0(4)0x1时,y0;x1时,y0(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Rxyo(1,0)xyo（1,0)(5)在(0,+∞)上是减函数(5)在(0,+∞)上是增函数21-1-21240yx32114xy2logxy21logxy3log1aylogxa0a1)和（且aylogxxy31log1.底数互为倒数的两对数函数的图像关于x轴对称关于x轴对称2.当a1,a值越大，的图像越靠近x轴当0a1,a值越小，的图像越靠近x轴aylogxaylogx一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，为常数。xy幂函数的定义：注意：（1）幂函数的解析式必须是的形式，前的系数必须是1，没有其它项。xyx（2）定义域与的值有关系.21xy幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.y=x3定义域值域单调性公共点y=xRRR[0，+∞）R[0，+∞）R[0，+∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上是增函数在（－∞,0]上是减函数，在(0,+∞）上是增函数在R上是增函数在(0，+∞)上是增函数在(－∞,0)，(0,+∞）上是减函数（1，1）奇偶性y=x21xy0，（0，+）0，（0，+）4321-1-2-3-4-22462yx3yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)y=x12yx1xy4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)3、在第一象限内，当α0,幂函数在(0,+∞)上为增函数;当α0,幂函数在(0,+∞)上为减函数.1、所有幂函数都过点（1,1）4、当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.2、所有幂函数在(0，+∞)有定义5、多个幂函数在同一坐标系中，当x1时，幂函数的图像越在上方，对应的幂函数的指数越大求函数定义域的方法:1.分数的分母不能为零;3.偶次方根的被开方数大于等于零;4.对数的真数必须大于零;5.指数、对数的底数必须大于零且不等于1.2.零的指数不能为零和负数;函数与方程方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点有实根x0函数y=f(x)有零点有交点(x0,0)零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。注意：零点指的是一个实数求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。函数零点存在性原理对函数零点的存在性定理的理解(1)函数零点的存在性定理只能判断函数零点的存在性，不能判断零点的个数.(2)只要函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断，且在区间[a,b]两端的函数值异号,则函数y=f(x)在区间[a,b]上必定存在零点.(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且函数y=f(x)在区间[a,b]也存在零点,则函数y=f(x)在区间[a,b]两端的函数值可能同号也可能异号.如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。abxy0二分法