电路的拉普拉斯变换分析法

第7章电路的拉普拉斯变换分析法7.1拉普拉斯变换的定义7.2拉普拉斯变换的基本性质7.3拉普拉斯反变换7.4复频域电路7.5电路的拉普拉斯变换分析法7.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性微分方程的工具。设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）拉氏正变换Sjf(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。00t0)(tf0t-0)(dtetfst为有限值积分下线0-后面讨论中写成0--0)()(dtetfsFst拉氏正变换例用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a0。)()(tetfat解]lim1[1)()()()(0)(0)(00tasttastasstatsteasasedtedteedtetfsF----------------根据拉氏变换的定义js因为tjtatee---)(lim=00lim)(--taste)(aas-1)(aa称为收敛域拉氏反变换-jjstdsesFjtf)(21)()]([)()]([)(1sFLtftfLsF-拉氏正变换拉氏反变换拉氏变换对由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1)t的指数函数；(2)t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。7.1.1指数函数tet(为常数)由定义可得的拉普拉斯变换为1()Fss-由此可导出一些常用函数的变换：1、单位阶跃函数ttet0001)(ttt1()Fss-01Lts2、正弦函数sinttjtjt1sin2jtee--故有22sinsttL22tjtjj1j1j21j21sin----sssteeLttL3、余弦函数costtjtjt1cos2tee-22cosssttL故有22tjtjj1j12121cos--ssssteeLttL4、衰减正弦函数tsinet-jj1sin2jtttetee-----])(1)(1[21]sin[jasjasjteLat---22)(as故有22)(]sin[-asteLat5、衰减余弦函数tcoset-与衰减正弦函数相类似可得22costsLetts-6、双曲线正弦函数shbtt1sh2ttteebbb--22shLttsbbb-故有7、双曲线余弦函数chbtt与双曲线正弦函数相类似可得22chsLttsbb-7.1.2t的正幂函数(n为正整数ntt由定义可得的拉普拉斯变换为ntt0nnstLtttedt-设,ddnstutvet-则000101000nstnstnstnsttedtudvuvudvtnetedtssntedts--------亦即1nnnLttLtts-依次类推，则得121112211!nnnnnnnLttLttLttsssnnnnsssssss-----当n=1时，有21)]([sttL1nnnLttLtts-7.1.3冲激函数Ad（t）冲激函数的定义d0tfttfd-可得00dstLAtAtetAeAdd-对于单位冲激函数来说，可令上式A=1，即得：t1Ld书中表7-1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。拉氏变换法的优点：（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；7.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。7.2.1线性特性若f1(t)F1(s)Lf2(t)LF2(s)则)()(2211tfatfaL)()(2211sFasFaa1，a2为任意常数证明求函数的象函数11221122000()()()()stststaftaftedtaftedtaftedt------)()(2211sFasFa例tatabeetf21)(解211][)]([21asbasbeeLtfLtata--7.2.2尺度变换若f(t)F(s)L则f1(at)L)(1asFaa为大于零的实数证明--00)()()]([adateatfdteatfatfLatasst令x=at)(1)(1)]([0asFadxexfaatfLxas-7.2.3时间变换若f(t)F(s)L)(0ttf-L0)(stesF-)(0ttf-0tf(t)0tt0f(t-t0))()(00ttttf--证明-----0)()()}({0000tststdtettfdtettfttfL令0ttx-0txtdxdtt0为常数则00)()()}({00ststsxesFdxeexfttfL----例解求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换0tf(t)ETt0tfa(t)0tTfc(t)0-ETfb(t)=++abcftftftftaEftttTbftEtT--cEfttTtTT---22asTbsTcELftTsELftesELfteTs----由线性性质22211abcsTsTstLftLftLftLftEEEeeTssTsETseTs------时间平移特性还可以用来求取有始周期函数(t≥0时呈现周期性的函数,在t＜0范围函数值为零)的拉普拉斯变换f(t)为有始周期函数，其周期为T，f1(t)、f2(t)…分别表示函数的第一周期，第二周期，…的函数，123ftftftft由于是周期函数，因此f2(t)可看成是f1(t)延时一个周期构成的，f3(t)可看成是f1(t)延时二个周期构成的，依此类推则有--TtfTtftftf2111根据平移特性，若11LftFs则211121111sTsTsTsTsTLftFsFseFseFsFseee------f(t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子11sTe--例求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换0tET23T25T2T2Tf(t)解先求第一个半波f1(t)的拉普拉斯变换0tEf1(t)3T2T2T0tET2f1b(t)||3T2T2T0tET2f1a(t)+111sinsin22abftftftTTEttEtt--有始正弦函数的拉普拉斯变换为22sinLtts故根据时间平移特性可得111222222221absTsTLftLftLftEEEeesss--半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为2222221111sTsTsTEeELftsese-----7.2.4频率平移特性若f(t)F(s)L则)(})({00ssFetfLts--证明)()()(})({00)(0000ssFdtetfdteetfetfLtsssttsts----7.2.5时域微分特性)('tfL若f(t)F(s)L)0()(--fssF则证明--0)(])([)]('[dtedttdfdttdfLtfLst由上式应用分部积分法，有--0)(])([)]('[dtedttdfdttdfLtfLst)()()()(])([000ssFetfdtetfsetfdttdfLststst------式中0)(-tstetf于是可得)0()()]('[--fssFtfL应用上式的结果可得)0()0()()0()]([)]([)]([2------fsfsFsftfsLtfdtdLtfL依此类推，可得)0()0()0()()]([)1(21)(----------nnnnnffsfssFstfL如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为)()]('[ssFtfL)()]([2sFstfL)()]([)(sFstfLnn例解若电容元件C的端电压uC(t)的拉氏变换式为UC(s)求电容C中电流的象函数IC(s)。应用微分性质IC(s)=L[iC(t)]=L[C]=C[sUC(s)-uC(0-)]=CsUC(s)-CuC(0-)dttduC)(如果C的端电压初始值uC(0-)=0IC(s)=CsUC(s))0()0()0()()]([)1(21)(----------nnnnnffsfssFstfL则有7.2.6时域微分特性L若f(t)F(s)则ssFdfLt)(])([0证明-000])([])([dtedfdfLsttt对上式进行分部积分，得----00000)(10)(])([])([dtetfsdfsedtedfdfLsttststttssFdfLt)(])([0=0则如函数的积分区间不由0开始而是由-∞开始00dddttfff--则因为故有将积分性质广到多重积分0ddtfFsLfss--同前面—样，此处的0意味着0-200ddtFsLfs书中表7–2列出了拉普拉斯变换的基本性质。则有7.3拉普拉斯反变换利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分分式法。利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，即0122110111)()()(asasasasbsbsbsbsDsNsFnnnnnmmmm------式中的诸系数an,bn都是实数，m、n都是正整数。如m≥n时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。N(S)=0的根被称为F(S)的零点；D(S)=0的根被称为F(S)的极点。为了分解F(s)为部分分式，只需讨论D(s)=0的根。7.3.1D(s)=0均为单根，即无重根的情况（设