布朗运动在股票定价中的应用

布朗运动在股票定价中的应用一、标准布朗运动1900年,法国数学家Bachelier独立地介绍了布朗运动,他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品运动的模型。布朗运动：价格集合():0Syy，若对任意非负的实数y，t，随机变量()()SytSy独立于时刻y及此前的所有价格，并且它是一个均值为t，方差为2t的正态随机变量，则称价格集合为漂移参数为，方差参数为2的布朗运动。用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些缺陷，比如：1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就可以取负值，但这与实际实不符的。2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布。这个假设不太合理，比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同。二、几何布朗运动用()(0)Syy表示y时刻某证券的价格，若对任何非负实数y，t（1）随机变量()/()SytSy独立于y时刻及此前的所有价格；（2）ln(()/())SytSy是均值为t，方差为2t的正态随机变量；则称价格集合服从漂移参数为，波动参数为的几何布朗运动。如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦，的值确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与历史价格无关。涉及未来时刻t以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关。比如一种证券在一个月之后增长一倍的概率与该证券现在的价格是$10还是$20是没有关系的。若随机变量Y为以t为参数的对数正态分布的随机变量，则2/2()EYe。若已知证券的价格为(0)S，时刻t价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于()St我们有2(/2)[()](0)tEStSe。用表示一个小的时间增量，并假定，在每个时间单位内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率(1)p倍下跌d倍，其中ue，de，1(1)2p。当取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的价格集就近似为一个几何布朗运动。下证当取得越来越小时，上述简单过程趋近于几何布朗运动。首先定义变量iY,若i时的价格上涨，则令1iY，否则令0iY。证券价格在前n次变化过程中上涨的次数为1niiY，下跌的次数为1niinY，所以在时刻n的证券价格()Sn可以表示为：11()=(0)nnnYYiiiiSnSud。将上述形式整理一下，1()=(0)()nYiinuSnSdd，若令/nt，则上述方程可以改写为/1/()=()(0)tYiitStudSd，两边取对数，得：//11()ln()lnln()+2(0)ttiiSttutdYYiiSd。既然/1()ln()+2(0)tiSttYiS，则随着趋于0，合式/1tYii越来越接近正态随机变量，所以ln(()/(0))StS是一个正态随机变量并且，/1()(ln())+2()2(0)12(1)2tiSttttEEpYiSttt。现在求方差，由于/1()ln()+2(0)tiSttYiS，所以/21202()(ln())4()(0)4(1)tiStVarVarYiStppt。当变得越来越小时，ln(()/(0))StS（同理可知ln(()/())StySy）就变成均值为t，方差为2t的正态随机变量。又因为前后价格的变化是独立的且每次改变时都以同样的概率增加或者减少，所以()/()StySy独立于时刻y以前的价格变化。所以当趋近于0时，几何布朗运动的两个条件都满足，这证明该模型确实变成了一个几何布朗运动。三、分数布朗运动大多数股票市场中的现象都体现了尖峰厚尾、自相似和长期相关等分型特征，这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场。资本市场提出分数布朗运动过程，已经成为弥补上述模型最简单的方法。分数布朗运动是布朗运动的推广。布朗运动指的是无相关性的随机游动，而分数布朗运动的特征是具有持久性和长期记忆性。下面我们就来讨论股票价格是如何基于分数布朗运动进行演化的。设随机量𝑅𝑖(𝜔)={1𝜔=字“”−1𝜔=“花”，考虑时间段0tT,细分[0,]T，令/tTN，(0,1,2)nntnNt，从而有分割010nTttt，定义随机量()()HiitRR以及序列(0,1,2)kkS：00S，11()kkHiikiitSRR，当[0,]T上定义有偏的随机游走()tS：111,(),,kkkkkkkktSttStttttSStt实际上()tS是由kS经过线性插值形成的路径。下面我们引进原生资产价格的相对值*tS：*tttSSB，其中tB为贴现因子，即对于一张在0t时刻面值为1的股票，若股价平均变化幅度为，则它在时刻t的期望价值为tteB。事实上，设t是一种风险资产股票的期望价值，(1)tttttttBtB，对于*tS，在[,]tt时段，二叉树模型可以表示为设1ud，令()(),HHttudee，其中为常数，它表示原生资产价格的波动率。对于鞅测度Q：{,}udqq，有()()()1/11()()//2HHHtHuttddeoqtududee1()()2Hdoqt，因此如果忽略()Ht的高阶无穷小量，在[,]tt时间段内原生资产的相对价格的变动，上扬和下跌具有同样的概率1/2，而它的回报()***()11()()()()()()()11()HHtHtttHttuupeotuptSSdSotdowntdowne因此不计t的高阶小量，我们有*t*()()HtttSSRtS，由泰勒展开,不计t的高阶小量,经过整理可以得到:*22*1ln()()()()2HHtttSRttS，根据定义*01S，01B，因此在对[0,]T分割以后，在每一个分点ktt，*2*2*1111lnln()2kkHiikkiiiSSRtS，即2*211lnlnln()2kHkikkkkiSStBRt，把它用线性插值连成路径，并记作^()tS，那么，22^1ln()()()2HttttSS，令0t，其中()tS的极限为()HtB，用()St记^()tS的极限函数，我们有：221ln()()()2HHSttttB，即2201()exp(())()2HHSttttSB，这表示股票价格演化是一个连续随机过程，它的对数用分数布朗运动来刻画。由上式可得：()()()()HdStStdtStdtB。下面对一些模型参数进行求解。漂移率表示的是经过一段时间后，股价的平均变化幅度，以年为单位来计量，用比率的形式来表示，即0[]StES，波动率反映的是相对回报率的不确定性，有220(1)[]()HStEtS。假设我们得到在一段较长时间[0,]T内的股价数据记录，这段区间由n个长度相等的子区间t组成。再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为：iS=第i个子区间的股价，样本观测值为1n个。具体步骤如下：第一步，计算下列时间序列值：1(012n)iiiSIUS，，，，第二步，计算11(1)niiUUn，2211[](1)1niinSUUn，这里U和2S是来自市场实际数据12,,,nSSS变化率样本均值和样本方差。第三步，解方程tU和222()HtS，得到Ut和()HSt，从而得到和的值。我们根据实际的数据利用经典的/RS分析法得出H的值,然后模拟分数布朗运动，利用上述公式求出和的值；最后根据()hSttBS用蒙特卡洛模拟模拟出股票价格的变动。