2013高二数学下学期中考试试卷及答案(2)

-22xyO1-1-11高二数学下学期中考试试卷(2)考试时间：120分钟，满分：150分一、单项选择题：（本大题共11个小题，每小题5分，共55分.请把答案填写后面的选择题答题卡中,否则不评分）.1、复数(,)abiabR的平方是一个实数的充要条件是（）（A）a=0且b≠0（B）a≠0且b=0（C）a=0且b=0（D）a=0或b=02、△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为（）(A)锐角(B)钝角(C)直角(D)不能确定3．若1322i,则等于421()A．1B．0C．33iD．13i4．函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件5．若,,xyR则1xy是221xy的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、已知函数32()(6)1fxxaxax有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（A）-1a2(B)-3a6（）（C）a-3或a6(D)a-1或a27、已知f（x）是定义域R上的增函数，且f（x）0,则函数g(x)=x2f(x)的单调情况一定是()(A)在(-∞，0)上递增（B）在(-∞，0)上递减（C）在R上递增（D）在R上递减8、曲线ln(21)yx上的点到直线230xy的最短距离是（）()A5()B25()C35()D09、设a、b为正数，且a+b≤4，则下列各式中正确的一个是（）(A)111ba(B)111ba(C)211ba(D)211ba10、已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是()11．将函数2cos(02)yxx的图象和直线2y围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是（）A．4B．8C．2D．4一、选择题答题卡（共11个小题，每小题5分，共55分）。题号1234567891011答案二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.12、一物体以v(t)=t2-3t+8(m/s)的速度运动,则其在前30秒内的平均速度为______________(m/s).13、设平面内有n条直线)3(n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(nf表示这n条直线交点的个数，则)4(f=____________；当4n时，)(nf__________________________．（用n表示）14．复数234ziiii的值是___________。15．设221)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(fffff的值是________________。三、解答题：（本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（本小题满分12分）求抛物线22yx与直线4yx围成的平面图形的面积.17、（本小题满分12分）已知函数3()3fxxx（I）求函数()fx在3[3,]2上的最大值和最小值.（II）过点(2,6)P作曲线()yfx的切线，求此切线的方程.18、（本小题满分13分）*121211111123421211111232(1),,,.(2),.nnnnnNSnnTnnnnSSTTST当时,求猜想与的关系并用数学归纳法证明19、（本小题满分14分）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.20、（本小题满分14分）如图，在直线)0(0aayy和之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往.家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d,0）（d0）处的学校就读.每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d,0）处的学校.已知船速为)0(00，车速为02（水流速度忽略不计）.（Ⅰ）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；（Ⅱ）若2ad，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间.21、（本小题满分14分）已知A（-1，2）为抛物线C:y=2x2上的点，直线1l过点A，且与抛物线C相切，直线2l:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线1l于点D.（1）求直线1l的方程.（2）设BAD的面积为S1，求BD及S1的值.（3）设由抛物线C，直线12,ll所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数.参考答案一、选择题答题卡（共10个小题，每小题5分，共50分）。题号1234567891011答案DABDBCAABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.12、26313、5,)1)(2(21nn14、015、3三、解答题：（.）16、（本小题满分12分）解:由方程组xyxy422解出抛物线和直线的交点为（2,2）及（8,－4）……2分解法1:选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为2yx，下半支方程为2yx所以……3分1122200[2(2)]22ASxxdxxdx……………………………………5分31632222023x…………………………………………………………7分282[4(2)]ASxxdx…………………………………………………9分328)322214(82232xxx……………………………………………11分于是：16381833S………………………………………………………………12分解法二:选y作积分变量，将曲线方程写为22yx及yx4………………………………………………………………2分dyyyS]2)4[(224…………………………………………………………6分2432)624(yyy……………………………………………………………10分301218…………………………………………………………………………12分17、（本小题满分12分）（）8,-48（）2,2解：（I）'()3(1)(1)fxxx，……………………………………………2分当[3,1)x或3(1,]2x时，'()0fx，3[3,1],[1,]2为函数()fx的单调增区间当(1,1)x时，'()0fx，[1,1]为函数()fx的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28ffff，………………………………5分所以当3x时，min()18fx当1x时，max()2fx………………………………………………6分（II）设切点为3(,3)Qxxx，则所求切线方程为32(3)3(1)()yxxxxx………………………………………………8分由于切线过点(2,6)P，326(3)3(1)(2)xxxx，解得0x或3x………………………………………………10分所以切线方程为3624(2)yxyx或即30xy或24540xy………………………………………………12分18、（本小题满分13分）解：（1）111122S，21117123412S111112T，2117212212T…………………………………3（2）猜想：*()nnSTnN即：1111111111.2342121232nnnnnn（n∈N*）……4分下面用数学归纳法证明①n=1时，已证S1=T1………………………………………………………………5分②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：1111111111.2342121232kkkkkk………………7分则111212(1)kkSSkk11212(1)kTkk……………………………………………………9分1111111232212(1)kkkkkk……………………10分11111232112(1)kkkkk11111(1)1(1)22212(1)kkkkk1kT由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.………………………………………13分19、（本小题满分14分）解(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm……………………………………3分（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm……4分当0m时，有211m，当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx-0+0-()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减………………………………………………………………………………………………8分故有上表知，当0m时，()fx在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.………………………………………………………………………………9分（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx…………………………10分又0m所以222(1)0xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm①设212()2(1)gxxxmm，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，……11分所以22(1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,03…………………………………………………………14分20、（本小题满分14分）解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0)(0≤x≤d)，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则)0(2)(0022dxxdxaxft.……3分令.33,0)(axxf得……………………………………………………5分且当,0)(,330xfax时…………………………………………………6分当,0)(,33xfdxa时……………………………………………………7分222323[2(42)]1(242)12(22)132(1)3aSxxdxaxxdxaxxxa当ax33时，所用的时间最短，最短时间为：00022)231(233)33(aadaat.………………………………9分答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是0)231(a.（II）由（I）的讨论可知，当d=]2,0()(,2axfta为时上的减函数，所以当2ax时，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短.……………………12分最短的时间为002225)2(aaat………………………………………………14分答：当2ad时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是025a.21、（本小题满分14分）（1）由224,yxyx得当x=1时，y＇=-4………………2分∴1l的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2……………