2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§2

知识点一曲线与方程1．曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．知识点二椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数．(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集．知识点三椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2知识点四直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆位置关系判断的步骤：(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程；(3)当Δ0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ0时，直线与椭圆相离．2．弦长公式(设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，直线斜率为k，交椭圆于P1，P2两点)|P1P2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|P1P2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.题型一曲线与方程例1(1)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2(2)如图所示，圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，折叠纸片使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案(1)D(2)A解析(1)由题意知，P点到圆心(1,0)的距离为2，∴P点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.(2)由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．感悟与点拨(1)求曲线的方程的方法有①直接法；②坐标转移法；③待定系数法．(2)判断轨迹的形状，可以利用定义，也可以求出方程，再根据方程进行判断．跟踪训练1(1)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0(2)(2016年10月学考)在平面直角坐标系xOy中，动点P的坐标满足方程(x－1)2＋(y－3)2＝4，则点P的轨迹经过()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限(3)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2－6，则点P的轨迹方程是__________．答案(1)D(2)A(3)y2＝x解析(1)由题意知，M为PQ的中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.(2)由题意，点P在圆(x－1)2＋(y－3)2＝4上，如图，点P的轨迹经过第一、二象限．(3)∵PA→＝(－2－x，－y)，PB→＝(3－x，－y)，∴PA→·PB→＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.题型二求椭圆的标准方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的标准方程为________．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则椭圆的标准方程为________．答案(1)x29＋y2＝1或x29＋y281＝1(2)x29＋y23＝1解析(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，则9a2＝1，2a＝6b或9b2＝1，2a＝6b，∴a＝3，b＝1或b＝3，a＝9，∴椭圆的标准方程为x29＋y2＝1或x29＋y281＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)，∴6m＋n＝1，3m＋2n＝1，∴m＝19，n＝13，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.感悟与点拨求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．跟踪训练2(1)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的标准方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1(2)已知椭圆经过点63，3和点223，1，则椭圆的标准方程为____________．答案(1)D(2)x2＋y29＝1解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32，所以椭圆E的标准方程为x218＋y29＝1.故选D.(2)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．因为点63，3和点223，1都在椭圆上，所以m·632＋n·32＝1，m·2232＋n·12＝1，即2m3＋3n＝1，8m9＋n＝1，解得m＝1，n＝19.所以椭圆的标准方程为x2＋y29＝1.题型三椭圆的性质例3(1)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为()A.36B.13C.12D.33(2)(2018年4月学考)如图，F为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点．若△OAB的面积是△OPF面积的52倍，则该椭圆的离心率是()A.25或35B.15或45C.105或155D.55或255答案(1)D(2)D解析(1)因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，所以|PF2|＝2c·tan30°＝233c，|PF1|＝433c.又|PF1|＋|PF2|＝633c＝2a，所以ca＝13＝33，即椭圆C的离心率为33.(2)由通径公式知Pc，－b2a，∵S△OAB＝12ab，S△OPF＝12c·b2a，∴ab＝52·cb2a，即a2＝52bc，又a2＝b2＋c2，∴52bc＝b2＋c2，∴cb＋bc＝52，∴cb＝2或12，∴e＝ca＝c2b2＋c2＝55或255.感悟与点拨(1)求椭圆的离心率的方法①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．跟踪训练3(1)(2017年11月学考)设A，B为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1·k2＝－34，则该椭圆的离心率为()A.14B.13C.12D.32(2)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是________．答案(1)C(2)0，32解析(1)设P(x0，y0)，则x20a2＋y20b2＝1，y0x0＋a·y0x0－a＝－34，得y20＝b2·a2－x20a2，y20＝－34x20－a2，∴b2a2＝34，∴e＝ca＝a2－b2a2＝1－b2a2＝12.(2)如图，取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形，∴|AF|＋|BF|＝|AF1|＋|AF|＝2a＝4.∴a＝2.不妨设M(0，b)，则|3×0－4b|32＋－42≥45，∴b≥1，∴e＝ca＝1－ba2≤1－122＝32.又0e1，∴0e≤32.题型四直线与椭圆例4(2016年10月学考)设F1，F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，动点P的坐标为(－1，m)，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若直线PA，PF2，PB的斜率之和为0，求m的所有整数值．解(1)F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)①当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知，m＝0.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得x1≠－1，x2≠－1，直线AB的方程为y＝kx－k.直线PA的斜率为y1－mx1＋1＝kx1－k＋mx1＋1；直线PF2的斜率为－m2；直线PB的斜率为y2－mx2＋1＝kx2－k＋mx2＋1，由题意得kx1－k＋mx1＋1＋－m2＋kx2－k＋mx2＋1＝0.化简整理得(4k－m)x1x2－3m(x1＋x2)－(4k＋5m)＝0.(*)将直线AB的方程y＝k(x－1)代入椭圆方程，化简整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.代入(*)式并化简整理得16k2m＋20k＋m＝0.从而m＝－20k16k2＋1.当k＝0时，m＝0；当k≠0时，|m|＝20|k|16k2＋1≤20|k|216k2＝52.当且仅当k＝±14时，等号成立故m的所有整数值是－2，－1,0,1,2.感悟与点拨直线与椭圆位置关系的问题，通常用设而不求的方法来处理，即设出交点坐标，联立直线方程与椭圆方程，用根与系数的关系，建立未知量之间的关系，从而将问题转化成方程或函数来解决．跟踪训练4已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|＝322，求直线PQ的方程．解(1)设M(x，y)，则kMA＝yx＋1，kMB＝yx－1(x≠±1)，∴yx＋1·yx－1＝－2，∴x2＋y22＝1(x≠±1)．(2)当直线PQ的斜率不