二次函数一对一辅导讲义

教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。考点及考试要求考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教学内容第一课时二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数2axy是最简单的二次函数。（3）二次函数cbacbxaxy,,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数（cbxax2为整式）典型例题：例1：函数y=（m＋2）x22m＋2x－1是二次函数，则m=．例2：已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．考点2、三种函数解析式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴：直线x=ab2顶点坐标：(abacab4422，)（2）顶点式：khxay2（a≠0），对称轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,对称轴:直线x=22x1x(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822xxy的顶点坐标为；对称轴是。例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是。例3：已知函数2)(22xmmmxy的图象关于y轴对称，则m＝________；例4：抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标是。例5：把方程x（x+2）=5（x-2）化为一元二次方程的一般形式后a=(),b=(),c=()考点3、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为．例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。考点4.二次函数的图象1、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数cbxaxy2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.例1：函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．例2：若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=．例3：函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．例4：若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．第二课时二次函数知识重要考点（2）考点5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)注：常用性质：1、开口方向：当a0时，函数开口方向向上；当a0时，函数开口方向向下；2、增减性：当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；3、最大或最小值：当a0时，函数有最小值，并且当x=ab2，y最小＝abac442当a0时，函数有最大值，并且当x=ab2，y最大＝abac442例1：抛物线的顶点在y轴上，则m的值为______________。例2：按要求求出下列二次函数的解析式：（1）形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的抛物线的解析式；（2）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式；（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。例3：已知函数（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；（4）观察图象：当x为何值时，y0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y0。考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。①a的符号决定抛物线的开口方向②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.例1：函数在同一坐标系中的图象大致是图中的（）例2：(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）例3：（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2yx的最小值是（）．A．2B．1C．－3D．23例4：(2009年上海市)抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A．()mn，B．()mn，C．()mn，D．()mn，考点8.抛物线cbxaxy2中a、b、c的作用1、a决定抛物线的开口方向和开口大小a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，函数开口方向向上；当a0时，函数开口方向向下；a的大小决定抛物线的开口大小：当a越大时，开口越小；当a越小时，开口越大；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=ab2）左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。注意点：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：注意点：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.例1：已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（）A.a0，b0，c=0B.a0，b0，c=0C.a0，b0，c0D.a0，b0，c=0例2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的（）例3：在同一直角坐标系中，函数的图象只可能是图中的（）例4：（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（）A、y=x2-x-2B、y=121212xC、y=121212xxD、y=22xx第三课时二次函数知识重要考点（3）考点9、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式――――――――――――――→向上（k0）向下（k0）平移︱k︱个单位↓―――――――――――→向上（k0）向下（k0）平移︱k︱个单位例1：（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．222xyB．222xyC．2)2(2xyD．2)2(2xy例2：2009年孝感）将函数2yxx的图象向右平移a(0)a个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4例3：（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx例4：（2009年兰州）把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．2(1)3yxB．2(1)3yxC．2(1)3yxD．2(1)3yx考点10、二次函数cbacbxaxy,,(2是常数，)0a的最大值和最小值的求法二次函数是否有最值，由a的符号确定。1、当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=ab2，y最小＝abac4422axy2hxaykaxy2khxay22、当a时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=ab2，y最大＝abac442注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。例1：抛物线的图象开口___________，对称轴是___________，顶点坐标为___________，当x=___________时，y有最___________值为___________。例2：当m=___________时，抛物线开口向下，对称轴是___________，在对称轴左侧，y随x的增大而___________，在对称轴右侧，y随x的增大而___________。例3：设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为___________例4：（2009年广州市）二次函数2)1(2xy的最小值是（）A.2（B）1（C）-1（D）-2例5：（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。考点11、抛物线cbxaxy2（0a）与x轴的交点个数与x轴交点，令y＝0，则有02cbxax即解一元二次方程①当△0时，方程02cbxax有两个不相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与x轴有两个不同的交点。②当△＝0时，方程02cbxax有两个相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与x轴有一个交点。③当△0时，方程02cbxax没有实数根，即抛物线cbxaxy2与x轴没有交点。例1：抛物线y=-x2+x+7与x轴的交点个数是（）例2：抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是（）A．没有交点B．只有一个交点C．有且只有两个交点D．有且只有三个交点考点12、直线与抛物线的交点问题（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶