第三章-泊松过程要点

第三章Poisson过程在生活中，常常会遇到这样一类随机现象，它们发生的地点、时间以及相联系的某种属性，常常归结为某一空间E中的点的随机发生或随机到达。例：电话交换台一天内收到用户的呼唤情况，X(n)是第n次呼唤发生时的时间；商店接待的顾客流，等待公共汽车的乘客流，要求再机场降落的飞机流等，股票价格的跳跃次数等。泊松过程（Poissonprocess）最早由法国人Poisson于1837年引入。主要内容第一节泊松过程的基本概念第二节相邻时间的时间间隔第三节剩余寿命与年龄第四节非时齐泊松过程第五节复合泊松过程第六节更新过程第一节、泊松过程的基本概念一随机过程，若满足条件：（1）是一计数过程，且N(0)=0;（零初值性)（2）任取（独立增量过程）相互独立；（3）（增量平稳性）（4）对任意和充分小的，有称是强度为的时齐泊松过程。其中称为强度常数。一、定义(),0Ntt,0,0,[()()][()]stnPNstNsnPNtn120,nttt1211(),()(),,()()nnNtNtNtNtNt0t0t[()()1]()[()()2]()PNttNttotPNttNtot0(),0Ntt第一节、泊松过程的基本概念从定义可得知，为一时齐泊松过程，N(t)表示[0,t]时段内事件发生的次数。（1）条件（1）表明在初始时刻无事件发生，即（2）条件（2）表明任意多个不相重叠的时间间隔内发生的事件数相互独立（3）条件（3）表明时间内发生的时间数的分布只与时间间隔t有关，与时间起点无关（4）条件（4）表明在足够小的时间内事件发生一次的概率与时间成正比，而在足够小的时间内事件发生次数不少于2的概率是关于的高阶无穷小。即在足够短的时间内，事件发生两次以上为小概率事件。(),0Ntt[(0)0]1PN[,]sstttt第一节、泊松过程的基本概念例1：设N(t)为时段内某电话交换台收到的呼叫次数，N(t)的状态空间为，且具有如下性质：1）N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫；2）在这段时间收到的呼叫次数只与时间间隔t有关，而与时间起点s无关；3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；4）在足够小的时间间隔内可见是强度的泊松过程。[0,)t0,1,2,[,]sst()()()PttotPtot时间内有一次呼叫（时间内收到2次及其以上呼叫）(),0Ntt第一节、泊松过程的基本概念若为时齐泊松过程，则有即是参数为的泊松分布。定理1：(),0Ntt0()[()()],!kttePNstNskkNk,0,st()()NstNst证明第一节、泊松过程的基本概念一计数过程，若满足条件：（1）N(0)=0;（2）N(t)是独立增量过程；（3）对，即则称是强度为的时齐泊松过程。泊松过程的等价定义：(),0Ntt,0,()()()stNstNsPt0()[()()],,0!kttePNstNskkNk(),0Ntt等价性的证明第一节、泊松过程的基本概念泊松过程的样本函数是一条阶梯曲线，ti表示第i个事件发生的时刻，那么在时刻ti阶梯曲线上跳一个单位。第一节、泊松过程的基本概念二、泊松过程的几个例子第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念()[()]NmtENtt1、均值函数二、泊松过程的数字特征表示[0,t)时段内平均发生的事件数，表示单位时间内平均发生的事件数。[()]ENt[()]ENtt第一节、泊松过程的基本概念()[()]NDtDNtt2、方差函数2222()[()][()]()()NNtENtDNtmttt3、二阶原点矩第一节、泊松过程的基本概念212121212(,)[()()]min(,)NRttENtNttttt4、自相关函数证明：当时12tt121221211212112121112121(,)()()()[()()]()()[()()]()()()NRttENtNtENtNtNtENtENtENtNtENttttttttt当时12tt212122(,)NRttttt所以2121212(,)min(,)NRtttttt第一节、泊松过程的基本概念1212(,)min(,)NCtttt5、自协方差函数证明：121212212121212(,)(,)()()min(,)min(,)NNNNCttRttmtmttttttttt第一节、泊松过程的基本概念例2：设粒子按平均率为4个/min的泊松过程到达某计数器，N(t)表示[0,t）内到达计数器的粒子个数，试求：(1)N(t)的均值、方差、自相关函数与自协方差函数；(2)在第3min到第5min之间到达计数器的粒子个数的概率分布。()(4)NtPt解:(1)()4()NNmttDt121212(,)4min(,)16NRtttttt1212(,)4min(,)NCtttt(2)N(5)-N(3)的分布律为42(42)[(5)(3)],1,2,3,!ePNNkkk第一节、泊松过程的基本概念1(),0Ntt1、泊松过程的叠加定理：设与为相互独立且强度分别为的泊松过程，对于任意给定的仍为泊松过程。即两个相互独立的泊松过程的叠加仍然为泊松过程，且其强度为二泊松过程的强度之和.三、泊松过程的叠加与分解,tT12,2(),0Ntt12()()(),NtNtNttT12第一节、泊松过程的基本概念12(0)(0)(0)NNN证明：（1）（2）为独立增量过程，其和也为独立增量过程；（3）记()()(,)NtsNtNtts12(),()NtNt11121212110110()121200([(,)][(,)(,)][(,),(,))][(,)][(,))]()()!1()()!()!!()!!mkmksskmkmmskmkkkPNttsmPNttsNttsmPNttskNttsmkPNttskPNttsmksesemesskmkkmkme)12[()]!smsm得证第一节、泊松过程的基本概念例2：设乘客从南北两个方向在[0,t)时段内到达同一飞机场的人数分别服从强度为的泊松过程，试求在[0,t)时段内到达机场的人数的平均值。+)t12答案：(12()()NtNt和12,第一节、泊松过程的基本概念(),0Ntt2、泊松过程的分解定理：设为强度为的泊松过程，为进入子系统A的质点数，为进入子系统B的质点数，则N(t)的分解过程相互独立，分别服从强度为和的泊松过程。其中p,1-p为分别进入系统A和B的概率。.1()Nt2()Nt12()()NtNt、p(1)p第一节、泊松过程的基本概念120(0)(0)(0)NNN证明：（1）可得（2）由N(t)的独立增量性可得，也为独立增量过程；（3）记()()(,)NtsNtNtts12(),()NtNt1111111111111011111[(,)][(,)|(,)][(,)][(,)|(,)][(,)]()!()(1)(1)!!()!()(1=!mmkmmkkmkkmkssmmkmkksPNttskPNttskNttsmPNttsmPNttskNttsmPNttsmsmsCppeppemkmkmpsek！1111(1)()111)()()()()!!mkkkspspsmkpspspseeemkkk！12(0)(0)0NN第一节、泊松过程的基本概念（4）证明的独立性其中表示独立到达泊松系统的个质点中恰好到达系统A有个，则有12(),()NtNt11221112111212[(),()][(),()][()|()](())PNtkNtkPNtkNtkkPNtkNtkkPNtkk1112()|()NtkNtkk12kk1k112121112[()|()](1)kkkkkPNtkNtkkCpp第一节、泊松过程的基本概念所以独立性得证。1212121212112212121212(1)121122[(),()]()!()(1)!!()!()(1)!!()()!![()][()]kkkktkkkktkkptptPNtkNtkkktppekkkktppekkptpteekkPNtkPNtk第一节、泊松过程的基本概念例3：设某个汽车站有A，B两辆跑同一路线的长途汽车。设到达该站的旅客数是一泊松过程，平均每10分钟到达15位旅客，而每个旅客进入A车或B车的概率分别为2/3与1/3.试求进入A车与进入B车的旅客数的概率分布。121110.5212[()],0,1,2,!(0.5)[()],0,1,2,!ktAktBtPNtkekktPNtkekk答案：第二节、相邻事件的时间间隔我们不仅要研究[0,t)时段内事件个数的概率分布，也有必要研究每个质点到达的时间服从的分布与相继到达的两个质点间的时间间隔服从的分布。第二节、相邻事件的时间间隔设是一计数过程，N(t)表示在[0,t]内事件发生的个数。令表示第n个事件发生的时刻;表示第n-1个事件与第n个事件发生的时间间隔。则有(),0Ntt00,nSS(1)n1(1)nnnXSSn(())()nNtnSt11(())()()()nnnnNtnStSStSt第二节、相邻事件的时间间隔因此的分布函数为：当t0时，当t=0时，所以，的概率密度函数为nS()0nPSt10()()(())1!kntnktPStPNtneknS1(0)()()(1)!nntSttfteIn推导2(),()nnnnESDS第二节、相邻事件的时间间隔特别地，当n=1时，有111,0()()0,0tetPXtPStt即是参数为的指数分布。1()XE那么，的分布如何呢？23,,,nXXX第二节、相邻事件的时间间隔定理2：计数过程是泊松过程的充分必要条件是独立且参数同为的指数分布。(),0Ntt,1nXn第二节、相邻事件的时间间隔证明思路：先证必要性（1）求的联合概率密度；（2）求的联合概率密度；（3）证明的服从的指数分布；（4）证明独立。12(,,,)nSSS12(,,,)nXXX(1)kXknkX12,,,nXXX第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔这个定理表明，若已知随机事件在某段时间内发生的次数是一个强度为的泊松过程，那么任何两个事件发生的时间间隔服从参数为的指数分布；反之，如果已知任意两个时间发生的时间间隔相互独立且同服从参数为的指数分布，则一定时间内随机事件发生的次数是一个强度为的泊松过程。第二节、相邻事件的时间间隔这个定理提供了一个检查计数过程是否为泊松过程的方法：1）用统计方法检验事件发生的时间间隔是否相互独立；2）用假设检验方法检验的密度只要上述两条成立，就可认定与时间t有关的随机事件发生的次数是一强度为的泊松过程。01:iiiHXSS,0()0,0xetfxt第二节、