空间向量专题练习答案

高中数学试卷第1页，共5页空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为______．【答案】𝜋3或2𝜋3【解析】解：设平面α的法向量为𝑚⃗⃗⃗=（1，0，-1），平面β的法向量为𝑛⃗⃗=（0，-1，1），则cos＜𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗＞=1×0+0×(−1)+(−1)×1√2⋅√2=-12，∴＜𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗＞=2𝜋3．∵平面α与平面β所成的角与＜𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗＞相等或互补，∴α与β所成的角为𝜋3或2𝜋3．故答案为：𝜋3或2𝜋3．利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量𝑢⃗⃗可以是______（写出一个即可）【答案】（0，1，-1）【解析】解：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（2，1，1），𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（3，-1，-1），设平面α的法向量𝑢⃗⃗=（x，y，z），则{𝑢⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+𝑦+𝑧=0𝑢⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑥−𝑦−𝑧=0，令z=-1，y=1，x=0．∴𝑢⃗⃗=（0，1，-1）．故答案为：（0，1，-1）．设平面α的法向量𝑢⃗⃗=（x，y，z），则{𝑢⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+𝑦+𝑧=0𝑢⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑥−𝑦−𝑧=0，解出即可．本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．3.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（1，0，2），𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．【答案】（-2，3，1）【解析】解：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（1，0，2），𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（2，1，1），设平面ABC的法向量为𝑛⃗⃗=（x，y，z），则{𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，即{𝑥+2𝑧=02𝑥+𝑦+𝑧=0，取x=-2，则z=1，y=3．高中数学试卷第2页，共5页∴𝑛⃗⃗=（-2，3，1）．故答案为：（-2，3，1）．设平面ABC的法向量为𝑛⃗⃗=（x，y，z），则{𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，解出即可．本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量𝑛⃗⃗与平面ABC垂直，且|𝑛⃗⃗|=√21，则𝑛⃗⃗的坐标为______．【答案】（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】解：设平面ABC的法向量为𝑚⃗⃗⃗=（x，y，z），则𝑚⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0，且𝑚⃗⃗⃗•𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（-1，-1，2），𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（1，0，2），∴{−𝑥−𝑦+2𝑧=0𝑥+2𝑧=0，即{𝑥=−2𝑧𝑦=4𝑧，令z=1，则x=-2，y=4，即𝑚⃗⃗⃗=（-2，4，1），若向量𝑛⃗⃗与平面ABC垂直，∴向量𝑛⃗⃗∥𝑚⃗⃗⃗，设𝑛⃗⃗=λ𝑚⃗⃗⃗=（-2λ，4λ，λ），∵|𝑛⃗⃗|=√21，∴√21•|λ|=√21，即|λ|=1，解得λ=±1，∴𝑛⃗⃗的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，𝑃𝑀=13𝑃𝐶，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．高中数学试卷第3页，共5页【答案】解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，√3），B（0，√3，0），C（-2，√3，0）∴𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（-23，√33，2√33），设𝑛1⃗⃗⃗⃗是平面MBQ的一个法向量，则𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，∴{√3𝑦=0−23𝑥+√33𝑦+2√33𝑧=0，∴𝑛1⃗⃗⃗⃗=(√3，0，1)，又∵𝑛2⃗⃗⃗⃗=(0，0，1)平面BQC的一个法向量，∴cos＜𝑛1⃗⃗⃗⃗，𝑛2⃗⃗⃗⃗＞=12，∴二面角M-BQ-C的大小是60°．【解析】（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．EF⊥PA，求𝑃𝐹𝑃𝐴的值；（1）若（2）求二面角P-BD-E的大小．【答案】解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，高中数学试卷第4页，共5页∵PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上，∴P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，1），设F（a，0，c），𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，则（a，0，c-2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），∴a=2λ，c=2-2λ，F（2λ，0，2-2λ），𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=（2λ，-1，1-2λ），𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=（2，0，-2），∵EF⊥PA，∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=4λ-2+4λ=0，解得𝜆=14，∴𝑃𝐹𝑃𝐴=14．（2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=（0，0，2），𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（2，2，0），𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（0，1，1），设平面BDP的法向量𝑛⃗⃗=（x，y，z），则{𝑛⃗⃗⋅𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+2𝑦=0𝑛⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑧=0，取x=1，得𝑛⃗⃗=（1，-1，0），设平面BDE的法向量𝑚⃗⃗⃗=（x，y，z），则{𝑚⃗⃗⃗⋅𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+2𝑦=0𝑚⃗⃗⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑦+𝑧=0，取x=1，得𝑚⃗⃗⃗=（1，-1，1），设二面角P-BD-E的大小为θ，则cosθ=|𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=2√2⋅√3=√63．∴二面角P-BD-E的大小为arccos√63．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出𝑃𝐹𝑃𝐴的值．（2）求出平面BDP的法向量和设平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小．本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A1B1C1和棱锥D-AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D，∵AC⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，高中数学试卷第5页，共5页以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．则𝐵(0，−1，0)，𝐷(0，1，0)，𝐵1(0，−1，2)，𝐴(√3，0，0)，𝐴1(√32，−12，2)，𝐶1(−√32，−12，2)，∴𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32，12，2)，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，0)，𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√32，12，2)．设平面A1BD的法向量𝑛⃗⃗=(𝑥，𝑦，𝑧)，由{𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√32𝑥+12𝑦+2𝑧=0𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦=0，取z=√3，得𝑛⃗⃗=(−4，0，√3)，设平面DCF的法向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑥，𝑦，𝑧)，由{𝑚⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦=0𝑚⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−√32𝑥+12𝑦+2=0，取z=√3，得𝑚⃗⃗⃗=(4，0，√3)．设二面角A1-BD-C1为θ，则𝑐𝑜𝑠𝜃=|𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑚||𝑛|=1319．【解析】（Ⅰ）由BB1⊥平面ABCD，得BB1⊥AC，再由ABCD是菱形，得BD⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BB1D，进一步得到平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1-BD-C1的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．